DE område på ett fastgeometrisk den kan erhållas med summan av områdena för var och en av de geometriska figurerna som komponerar den. En tetraeder är till exempel en pyramid av triangulär bas. Denna pyramid bildas av fyra trianglar: en bas och tre sidoytor. När vi lägger till områdena för var och en av dessa trianglar har vi tetraederns område.
Regelbunden tetraeder till höger och dess plan till vänster
Nedan följer formlerna som används för att beräkna ytan för vissa geometriska fasta ämnen och exempel på hur man använder dem.
kullerstensområde
Tänk på a gatsten vars längd mäter "x", bredden mäter "y" och höjden mäter "z", som i följande bild:
Formeln som används för att beräkna din område é:
A = 2xy + 2yz + 2xz
Samma formel gäller för kubområdet, vilket är ett speciellt fall av gatsten. Men eftersom alla kanterna på kuben är desamma, den här formel Kan vara nedsatt. Således bestäms arean av en kantkub L av:
A = 6L2
Exempel 1
vad är området för en blockerarektangulär med längd och bredd lika med 10 cm och höjd lika med 5 cm?
Som längd = bredd = 10 cm har vi x = 10 och y = 10. Som höjd = 5 cm har vi z = 5. Med hjälp av formeln för det parallellpipade området kommer vi att ha:
A = 2xy + 2yz + 2xz
A = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 5 + 2 · 10 · 5
A = 200 + 100 + 100
H = 400 cm2
Exempel 2
Vad är ytan på en kub vars kant mäter 10 cm?
A = 6L2
A = 6 · 102
A = 6 100
H = 600 cm2
Cylinderområde
Med tanke på cylinder med radie r och höjd h, illustrerad av figuren nedan, a formel används för att beräkna din område é:
A = 2πr (r + h)
Exempel 3
Bestäm område av en cylinder vars höjd mäter 40 cm och diametern mäter 16 cm. Tänk på π = 3.
en jävla cirkel är lika med halva dess diameter (16: 2 = 8). Således är radien på cylinderns bas lika med 8 cm. Byt bara dessa värden i formeln:
A = 2πr (r + h)
A = 2 · 3 · 8 (8 + 40)
A = 2 · 3 · 8 · 48
A = 6 384
H = 2304 cm2
konområde
Formeln som används för att bestämma konområde é:
A = πr (r + g)
Följande bild visar att r är konens radie och g är måttet på dess generatrix.
Exempel 4
beräkna område på ett kon vars diameter är 24 cm och vars höjd mäter 16 cm. Tänk på π = 3.
Att upptäcka mätagergeneratris av konen, använd följande uttryck:
g2 = r2 + h2
Eftersom konens radie är lika med halva dess diameter är måttet på radien 24: 2 = 12 cm. Vi kommer att ersätta värdena i uttrycket:
g2 = r2 + h2
g2 = 122 + 162
g2 = 144 + 256
g2 = 400
g = √400
g = 20 cm
Byta ut konradien och generatrixmåttet i formel i område, vi kommer att ha:
A = πr (r + g)
A = 3 · 12 (12 + 20)
A = 36 · 32
H = 1152 cm2
sfärområde
Formeln som används för att beräkna sfärområde med radie r är:
A = 4πr2
Exempel 5
Beräkna sfärens yta i följande bild. Tänk på π = 3.
Använda formelgerområde ger boll, vi kommer att ha:
A = 4πr2
A = 4 · 3 · 52
A = 12-25
H = 300 cm2
Pyramidområde
Du prismer och pyramider har inte en formelspecifik för beräkning områdeeftersom formen på dess sidoytor och dess baser är mycket varierande. Det är emellertid alltid möjligt att beräkna ytan för ett geometriskt fast ämne genom att platta ut det och lägga till de enskilda ytorna på var och en av dess ansikten.
När dessa fasta ämnen är raka, som prismahetero och den pyramidhetero, är det möjligt att identifiera relationer mellan åtgärder av dess sidoytor.
Se också:Beräknar prismans area
Exempel 6
Ett pyramid rakt med en fyrkantig bas har ett apotema lika med 10 cm och en baskant lika med 5 cm. Vad är ditt område?
För att lösa detta exempel, titta på bilden av pyramiden nedan:
En rak pyramid med en fyrkantig bas har alla sidoytor kongruenta. Så, beräkna bara ytan på en av dem, multiplicera resultatet med 4 och lägg till detta till resultatet som erhålls vid beräkningen av område av pyramidens bas.
För att beräkna ytan för en av dessa trianglar behöver vi måttet på dess höjd. Detta mått är lika med pyramidens apotema, därför 10 cm. I följande formel kommer apotemen att representeras av bokstaven h. Dessutom är alla baser av trianglar kongruenta, eftersom de alla är sidor av a fyrkant och mäta 5 cm.
Sidans yta:
A = bh
2
A = 5·10
2
A = 50
2
H = 25 cm2
Område med fyra sidoytor:
A = 4 · 25
H = 100 cm2
Basarea (som är lika med arean på en kvadrat):
A = 12
A = 52
H = 25 cm2
Totalt areal av denna pyramid:
A = 100 + 25 = 125 cm2
prismaområdet
Som sagt finns det ingen specifik formel för prismaområdet. Vi måste beräkna ytan på vart och ett av dess ansikten och lägga till dem i slutet.
Exempel 7
Vad är prismaområdet rak bas fyrkant, vet du att höjden på detta solida är 10 cm och att kanten på basen mäter 5 cm?
Lösning:
Nedan ser du en bild av prismen i fråga för att hjälpa till att bygga lösningen:
Övningen informerar om att basavprisma det är fyrkantigt. Dessutom är de två prismabaserna kongruenta, det vill säga att hitta ytan för en av dessa baser, multiplicera bara denna mätning med 2 för att bestämma ytan för de två prismabaserna.
DEB = 12
DEB = 52
DEB = 25 cm2
Eftersom den har en fyrkantig bas är det lätt att se att den har fyraansiktensidor, som också är kongruenta, eftersom det fasta ämnet är rakt. Så, hitta området för en av sidoytorna, multiplicera bara detta värde med 4 för att hitta prismaets laterala område.
DEfl = b · h
DEfl = 5·10
DEfl = 50 cm2
DEdär = 4Afl
DEdär = 4·50
DEdär = 200 cm2
DE områdetotalavprisma é:
A = AB + Adär
A = 25 + 200
H = 225 cm2
Av Luiz Paulo Silva
Examensarbete i matematik
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm