Vad är komplexa tal?

Fram till mitten av 1500-talet, ekvationer som x² - 6x + 10 = 0 betraktades helt enkelt som "ingen lösning". Detta berodde på att enligt Bhaskaras formel, när man löser denna ekvation, skulle resultatet hittas:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problemet hittades i √– 4, som inte har någon lösning inom uppsättningen reella tal, det vill säga nej det finns ett reellt tal som multiplicerat med sig själv ger √– 4, eftersom 2 · 2 = 4 och (–2) (- 2) = 4.

År 1572 var Rafael Bombelli upptagen med att lösa ekvationen x³ - 15x - 4 = 0 med Cardanos formel. Genom denna formel dras slutsatsen att denna ekvation inte har verkliga rötter, eftersom det slutligen blir nödvändigt att beräkna √– 121. Men efter några försök är det möjligt att hitta att 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 och därför att x = 4 är en rot till denna ekvation.

Med tanke på förekomsten av verkliga rötter som inte uttrycks av Cardanos formel hade Bombelli idén att anta att √– 121 skulle resultera i √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 och detta kan vara en ”orealistisk” rot för ekvationen studerade. Således skulle √– 121 vara en del av en ny typ av tal som utgör de andra ogrundade rötterna i denna ekvation. Så ekvationen x

³ - 15x - 4 = 0, som har tre rötter, skulle ha x = 4 som den verkliga roten och två andra rötter som tillhör denna nya typ av nummer.

I slutet av 1700-talet kallade Gauss dessa siffror som komplexa tal. Vid den tiden hade komplexa nummer redan formen a + bi, med i = √– 1. Dessutom, De och B de ansågs redan som punkter i ett kartesiskt plan, känt som Argand-Gauss-planet. Således hade det komplexa talet Z = a + bi som sin geometriska representation en punkt P (a, b) i det kartesiska planet.

Därför uttrycket ”komplexa tal”Började användas med hänvisning till den numeriska uppsättningen vars representanter är: Z = a + bi, med i = √– 1 och med De och B tillhör uppsättningen av reella tal. Denna representation kallas algebraisk form av komplexa nummer Z.

Eftersom komplexa tal bildas av två reella tal och en av dem multipliceras med √– 1, dessa verkliga siffror har fått ett särskilt namn. Med tanke på det komplexa talet Z = a + bi är a den "verkliga delen av Z" och b är den "imaginära delen av Z". Matematiskt kan vi skriva: Re (Z) = a och Im (Z) = b.

Idén om modul av ett komplext tal kristalliseras analogt med idén om modul för ett reellt tal. Med tanke på punkten P (a, b) som en geometrisk representation av det komplexa talet Z = a + bi ges avståndet mellan punkten P och punkten (0,0) av:

| Z | = √(De² + b²)

Ett andra sätt att representera komplexa tal är genom Polär eller trigonometrisk form. Denna form använder modulen för ett komplext tal i dess konstitution. Det komplexa talet Z, algebraiskt Z = a + bi, kan representeras med den polära formen av:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Det är intressant att notera att det kartesiska planet definieras av två ortogonala linjer, kända som x- och y-axlarna. Vi vet att reella tal kan representeras av en linje där alla rationella nummer placeras. De återstående mellanslagen är fyllda med de irrationella siffrorna. Medan de verkliga siffrorna är alla på den linje som kallas X-axeln från det kartesiska planet skulle alla andra punkter som tillhör det planet vara skillnaden mellan komplexa tal och reella tal. Således ingår uppsättningen av reella tal i uppsättningen komplexa nummer.

Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm