Algebra det är grenen av matematik som generaliserar aritmetik. Detta innebär att begrepp och operationer från aritmetik (addition, subtraktion, multiplikation, division etc.) kommer att testas och deras effektivitet kommer att bevisas för alla nummer som tillhör vissa uppsättningar numerisk.
Fungerar tilläggsoperationen till exempel verkligen på alla siffror som tillhör uppsättningen naturliga tal? Eller finns det ett mycket stort naturligt antal, nära oändligheten, som beter sig annorlunda än andra när de läggs samman? Svaret på denna fråga ges av algebra: Först definieras uppsättningen naturliga tal och operationen läggs till; då är det bevisat att tilläggsoperationen fungerar för alla naturliga tal.
USA algebra studier, bokstäver används för att representera siffror. Dessa bokstäver kan antingen representera okända nummer eller vilket nummer som helst som hör till en numerisk uppsättning. Om x till exempel är ett jämnt tal kan x vara 2, 4, 6, 8, 10,... På detta sätt är x vilket som helst tal som tillhör uppsättningen jämna siffror och det är tydligt vilken typ av nummer x är: en multipel av 2.
Egenskaper hos matematiska operationer
Att veta att valfritt nummer som tillhör en uppsättning kan representeras av en bokstav, betrakta siffrorna x, y och z tillhörande uppsättningen siffror. verklig och verksamheten tillägg och multiplikation representerad av "+" respektive "·". Följande egenskaper gäller så för x, y och z:
1 - Associativitet
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - Kommutativitet
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - Förekomsten av ett neutralt element (1 för multiplicering och 0 för addition)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Existensav motsatt (eller symmetriskt) element.
x + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - Distribution (även kallad den fördelande egenskapen för multiplikation över tillägg)
x · (y + z) = x · y + x · z
Dessa fem fastigheter är giltiga för alla reella tal x, y och z, eftersom dessa bokstäver användes för att representera vilket reellt tal som helst. De är också giltiga för tilläggs- och multiplikationsoperationer.
algebraiska uttryck
I matematik, uttryck är en sekvens av matematiska operationer utförda med vissa siffror. Till exempel: 2 + 3 - 7 är ett numeriskt uttryck. När detta uttryck involverar okända nummer (okända) kallas det algebraiska uttryck. Ett algebraiskt uttryck som bara har en term kallas monomium. Några algebraiska uttryck det är resultatet av addition eller subtraktion mellan två monomier kallas ett polynom.
algebraiska uttryck, monomier och polynomier är exempel på element som tillhör algebra, eftersom de består av operationer som utförs med okända siffror. Kom ihåg att ett okänt nummer kan representera vilket nummer som helst i en numerisk uppsättning.
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Ekvationer
Ekvationer dom är algebraiska uttryck som har en jämlikhet. Således, ekvation det är ett innehåll i matematik som relaterar siffror till okända genom en jämlikhet.
Närvaron av det okända är det som klassificerar ekvation som algebraiskt uttryck. Närvaron av jämställdhet gör det möjligt att hitta lösningen på en ekvation, det vill säga det okändes numeriska värde.
Exempel
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Roller
Den formella definitionen av funktion är följande: ockupation det är en regel som relaterar varje element i en uppsättning till ett enda element i en andra uppsättning.
Denna regel representeras matematiskt av ett algebraiskt uttryck som har en jämlikhet, men som relaterar det okända till det okända. Detta är skillnaden mellan en funktion och en ekvation: ekvationen relaterar ett okänt till ett fast antal; på ockupation, det okända representerar en hel numerisk uppsättning. Av denna anledning kallas okända variabler inom funktioner, eftersom de kan ta valfritt värde inom den uppsättning de representerar.
Eftersom det handlar om algebraiska uttryck, ockupation det är också ett innehåll som tillhör Algebra, eftersom bokstäverna representerar vilket nummer som helst som hör till vilken uppsättning siffror som helst.
Exempel:
1) Tänk på funktionen y = x2, där x är någon riktigt nummer.
I denna ockupation, variabeln x kan ta vilket värde som helst inom uppsättningen reella tal. Eftersom regeln som förbinder siffrorna som representeras av x till de siffror som representeras av y är en grundläggande matematisk operation, så representerar y också reella tal. Den enda detalj i detta är att y inte kan representera ett negativt reellt tal i denna funktion, eftersom y är resultatet av en exponenteffekt på 2, som alltid kommer att ha ett positivt resultat.
2) Betrakta funktionen y = 2x, där x är a naturligt nummer.
I denna ockupation, variabeln x kan ta vilket värde som helst inom uppsättningen naturliga tal. Dessa tal är positiva heltal, så värdena som y kan ta är naturliga tal multiplar av 2. På detta sätt är y en representant för uppsättningen jämna siffror.
Från klassisk algebra till abstrakt algebra
De hittills listade begreppen utgör klassisk algebra. Denna del av algebra är mer kopplad till uppsättningar av naturliga, heltal, rationella, irrationella, verkliga och komplexa tal och studeras i både grundutbildning och högre utbildning. Den andra delen av algebra, känd som abstrakt, studerar samma strukturer, men för alla uppsättningar.
Således, med tanke på vilken uppsättning som helst, med några element (siffror eller inte), är det möjligt att definiera en operation "addition", en operation "multiplikation" och verifiera förekomsten eller inte av egenskaperna för dessa operationer, liksom giltigheten av "ekvationer", "funktioner", "polynom" etc.
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
