Vi vet hur upprepa arrangemang eller komplett arrangemang, alla beställda omgrupper som vi kan bilda med k element i en uppsättning med Nej element, med ett element av Nej kan visas mer än en gång. DE kombinatorisk analys det är området matematik som utvecklar räknetekniker för att hitta antalet möjliga kluster i vissa situationer.
Bland dessa grupperingar finns arrangemanget med upprepning, närvarande till exempel i skapa lösenord, registreringsskyltar, mellan andra. För att lösa dessa situationer använder vi arrangemangsformeln med upprepning som en räkneteknik. Det finns olika formler för att beräkna det upprepande arrangemanget och det icke-upprepande arrangemanget, så det är viktigt att veta hur man kan skilja på var och en av dessa situationer för att tillämpa rätt räkneverk.
Läs också: Grundläggande räkningsprincip - huvudbegreppet för kombinatorisk analys
Vad är arrangemang med upprepning?
![Det finns ett arrangemang med upprepning i produktionen av fordonsplattor. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
I vårt dagliga liv stöter vi på situationer som involverar sekvenser och grupperingar som visas i välj lösenord från sociala nätverk eller bank, och även i telefonnummer eller situationer som involverar köer. Hur som helst, vi är omgivna av situationer som involverar dessa grupperingar.
Till exempel, på registreringsskyltar, som består av tre bokstäver och fyra siffror, finns en unik sträng efter tillstånd som identifierar var och en av bilarna, i det här fallet arbetar vi med arrangemang. När det är möjligt att upprepa elementen arbetar vi med hela arrangemanget eller arrangemanget med repetition.
Fick en uppsättning med Nej element, vi känner som arrangemang med upprepning alla grupperingar som vi kan bilda med k delar av detta uppsättning, där ett element kan upprepas mer än en gång. På bilens registreringsskyltar är det till exempel antalet möjliga registreringsskyltar som vi kan bilda med hänsyn till att de har tre bokstäver och fyra siffror och att bokstäverna och siffrorna kan upprepas.
För att beräkna antalet möjliga upprepade arrangemang använder vi en mycket enkel formel.
Arrangemangsformel med upprepning
För att hitta hela beloppet för arrangemanget Nej distinkta element tagna från k i
åh, i en given situation som möjliggör upprepning av ett element använder vi följande formel:
LUFTNej,k = Nejk
AR → arrangemang med repetition
Nej → antal element i uppsättningen
k → antal element som kommer att väljas
Se också: Enkel kombination - räkna alla delmängder av en viss uppsättning
Hur man beräknar upprepande arrangemangsnummer
För att bättre förstå hur du använder upprepningsformeln, se exemplet nedan.
Exempel 1:
Ett banklösenord består av fem siffror som uteslutande består av siffror, hur många är antalet möjliga lösenord?
Vi vet att lösenordet är en femsiffrig sträng och att det inte finns några begränsningar för repetitioner, så vi kommer att tillämpa arrangemangsformeln med repetition. Användaren måste välja bland 10 siffror, som kommer att komponera var och en av de fem siffrorna i detta lösenord, det vill säga vi vill beräkna arrangemanget med upprepning av 10 element tagna var femte.
LUFT10,5 = 105 = 10.000
Så det finns 10 000 lösenordsmöjligheter.
Exempel 2:
Att veta att fordonets registreringsskyltar består av tre bokstäver och fyra siffror, hur många registreringsskyltar kan du bilda?
Vårt alfabet består av 26 bokstäver, och det finns 10 möjliga siffror, så låt oss dela upp i två kompletta matriser och hitta antalet möjliga matriser för bokstäverna och siffrorna.
LUFT26,3 = 26³ = 17.576
LUFT10,4 = 104 = 10.000
Således är det totala antalet möjliga arrangemang:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Skillnad mellan enkelt arrangemang och upprepat arrangemang
Att skilja det enkla arrangemanget från arrangemanget med repetition är viktigt för att lösa problem i ämnet. Det viktiga för differentiering är att inse att när vi har att göra med en situation där det finns omgrupper vars ordning är viktig, handlar det om av ett arrangemang, och om dessa omgrupperingar tillåter upprepning mellan termer, är det ett arrangemang med upprepning, även känt som arrangemang komplett. När omgruppering inte tillåter upprepning, det handlar om ett enkelt arrangemang.
Den enkla arrangemangsformeln skiljer sig från den vi använder för upprepningsarrangemanget.
Vi har sett exempel på upprepande arrangemang tidigare, se nu ett exempel på enkelt arrangemang
Exempel:
Paulo vill lägga på hyllan tre av sina tio skolböcker, alla olika från varandra, hur många sätt kan han organisera dessa böcker?
Observera att i det här fallet är ordningen viktig, men det finns inga upprepningar, eftersom det är ett enkelt arrangemang. För att hitta antalet möjliga grupperingar måste vi:
För att lära dig mer om denna andra form av gruppering som används i kombinatorisk analys, läs texten: DEenkelt arrangemang.
Övningar lösta:
Fråga 1 - (Enem) En bank bad sina kunder att skapa ett personligt sexsiffrigt lösenord, som endast består av siffror från 0 till 9, för att komma åt checkkontot via internet. En specialist inom elektroniska säkerhetssystem rekommenderade dock att bankens ledning omregistrerar sina användare och begär detta var och en av dem, skapandet av ett nytt lösenord med sex siffror, som nu tillåter användning av de 26 bokstäverna i alfabetet, förutom siffrorna från 0 till 9. I detta nya system ansågs varje versal vara åtskild från dess små bokstäver. Dessutom var användning av andra typer av tecken förbjuden.
Ett sätt att utvärdera en förändring av lösenordssystemet är att kontrollera förbättringskoefficienten, vilket är anledningen till det nya antalet lösenordsmöjligheter i förhållande till det gamla. Förbättringskoefficienten för den rekommenderade ändringen är:
Upplösning
Alternativ A
Det gamla lösenordet är en array med upprepning, eftersom det kan bestå av alla siffror, så det är en array med 10 element som tas var sjätte.
LUFT10,6 = 106
Det nya lösenordet kan bestå av 10 siffror och även versaler (26 bokstäver) och små bokstäver (26 bokstäver), så lösenordet har, för varje siffra, totalt 10 + 26 + 26 = 62 möjligheter. Eftersom det finns sex siffror kommer vi att beräkna arrangemanget med upprepning av 62 element tagna var sjätte.
LUFT62,6 = 626
DE anledning av det nya antalet lösenordsmöjligheter jämfört med det gamla är 626/106.
Fråga 2 - (Enem 2017) Ett företag kommer att bygga sin webbplats och hoppas kunna locka en publik på cirka en miljon kunder. För att komma åt den här sidan behöver du ett lösenord med ett format som ska definieras av företaget. Det finns fem formatalternativ som erbjuds av programmeraren, beskrivna i tabellen, där “L” och “D” representerar versaler respektive siffror.
Alfabetets bokstäver, bland de 26 möjliga, liksom siffrorna, bland de 10 möjliga, kan upprepas i något av alternativen.
Företaget vill välja ett formatalternativ vars antal möjliga distinkta lösenord är större än förväntat antal kunder, men att detta antal inte överstiger dubbelt så mycket som det förväntade antalet kunder.
Upplösning
Alternativ E
Genom att beräkna var och en av möjligheterna vill vi hitta lösenordet som har mer än en miljon möjligheter och mindre än två miljoner möjligheter.
I → LDDDDD
26 ·105 är större än två miljoner, så det uppfyller inte företagets begäran.
II → DDDDDD
106 är lika med en miljon, så det uppfyller inte företagets begäran.
III → LLDDDD
26² · 104 är större än två miljoner, så det uppfyller inte företagets begäran.
IV → DDDDD
105 är mindre än en miljon, så det uppfyller inte företagets begäran.
V → LLLDD
26³ · 10² är mellan en miljon och två miljoner, så den här lösenordsmallen är perfekt.
Bildkredit
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm