THE obseg je ravna geometrijska figura, ki jo tvori zveza enako oddaljenih točk, to pomeni, da imajo enako razdaljo od fiksne točke, ki se imenuje središče. Študija obsega je prisotna tudi v analitična geometrija, v katerem je mogoče razbrati enačbo, ki jo predstavlja.
čeprav je krog in obseg so ravne geometrijske figure z nekaterimi skupnimi elementi, kar navadno vodi v dvome, predstavljajo pomembne razlike, zlasti glede dimenzionalnosti.
Preberite tudi: Razdalja med dvema točkama - pomemben koncept analitične geometrije
elementi kroga
Upoštevajte obseg:
Točka Ç to se imenuje središče krogain upoštevajte, da ji pripadata točki A in B. Odsek, ki povezuje konce kroga, ki poteka skozi središče, se imenuje premer. Na prejšnjem obsegu, potem moramo premer je segment AB.
Za razdelite premer na polovico, vzemimo polmer obsega, to je polmer (r) kroga to je segment, ki združuje središče in konec. V tem primeru je polmer odsek CB. Med tema dvema elementoma lahko vzpostavimo matematično razmerje, saj je premer dvakrat polmer.
d = 2 · r
Primer
Določite polmer kroga s premerom 40 cm.
Vemo, da je premer dvakrat polmer, takole:
dolžina oboda
Razmislite o krogu, ki ima polmer, ki meri r. O dolžine ali oboda obsega je podan zmnožku çstalna pi (π) za dvakrat polmer.
Ko izračunamo dolžino ali obod kroga, določimo velikost črte zelena na prejšnji risbi in v ta namen preprosto nadomestite vrednost polmera v formuli, ki nadaljuje slika.
Primer
Določite dolžino obsega polmera 5 cm.
Polmer kroga je enak 5 cm, zato moramo za določitev dolžine kroga to vrednost nadomestiti s formulo.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Glej tudi: Konstrukcija vpisanih poligonov
obseg območja
Razmislite o krogu s polmerom r. Za izračun vaše površine moramo pomnožimo kvadrat vrednosti polmera z π.
Ko izračunamo površino kroga, določimo površinsko mero, to je celotno območje znotraj kroga.
- Primer
Določite površino kroga s polmerom 4 cm.
Imamo, da je polmer oboda enak 4 cm, zato lahko to mero v formuli nadomestimo za območje. Poglej:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
V = 50,24 cm2
Enačba zmanjšane obsega
Vemo, da lahko krog zgradi zbiranje točk, ki imajo enako razdaljo od fiksne točke, imenovane izhodišče ali središče. Torej, upoštevajte fiksno točko v Kartezijansko letalo O (a, b). Skup točk - predstavljenih s P (x, y) -, ki so na isti razdalji r od te fiksne točke, tvori krog polmera r.
Upoštevajte, da so točke oblike P (x, y) na isti razdalji od točke O (a, b), tj. razdalja med točkama O in P je enaka polmeru kroga, tako:
Ob zmanjšana enačba, upoštevajte, da številke The in B so koordinate središča kroga in to r je mera polmera.
- Primer
Določite koordinate središča in mero polmera kroga, ki ima enačbo:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Če primerjamo to enačbo z zmanjšano enačbo, imamo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Glej, da je a = 2, b = 6 in r2 = 36. Edina enačba, ki jo je treba rešiti, je:
r2 = 36
r = 6
Zato je koordinata središča: O (2, 6) in polmer dolžine 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Podobno imamo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Medtem ko je vrednost polmera podana z:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Upoštevajte, da x2 = (x + 0)2 in y2 = (y + 0)2 . Torej moramo:
(x - The)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Zato je koordinata središča O (0, 0) in polmer enak 1.
Dostop tudi: Kako najti središče kroga?
splošna enačba kroga
Za določitev splošne enačbe kroga moramo razviti zmanjšano enačbo njo. Tako upoštevajte krog, ki ima središče na koordinatah O (a, b) in polmeru r.
Sprva bomo razvili izraze na kvadrat z uporabo pomembni izdelki; potem bomo vse številke predali prvemu članu; in nazadnje bomo pridružili izraze z enakim dobesednim koeficientom, torej tiste z enakimi črkami. Poglej:
Primer
Določite koordinate središča in srednji polmer kroga, ki ima enačbo:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Če želite določiti polmer in koordinate kroga, ki ima to enačbo, jo moramo primerjati s splošno enačbo. Poglej:
x2 + y2 – 2.x - 2by + The2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Iz primerjav v zeleni barvi moramo:
2. = 4
a = 2
ali
The2 = 4
a = 2
Iz rdečih primerjav imamo:
2b = 6
b = 3
ali
B2 = 9
b = 3
Tako lahko rečemo, da ima središče koordinato O (2, 3). Zdaj, ko primerjamo vrednost r, imamo:
r2 = 49
r = 7
Zato je polmer kroga dolg 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
Na podoben način primerjajmo enačbe:
x2 + y2 – 2.x - 2by + The2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Določanje vrednosti b:
–2b = 14
b = - 7
Zdaj upoštevajte, da:
The2 + b2 - r2 = 10
Ker poznamo vrednosti a in b, jih lahko nadomestimo v formuli. Poglej:
The2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Zato so koordinate središča O (5, –7), polmer pa ima dolžino 8.
Razlike med obsegom in krogom
Razlika med krogom in krogom zadeva število dimenzij vsakega elementa. Medtem ko ima krog eno dimenzijo, ima krog dve.
Krog je območje v ravnini, ki ga tvorijo točke, ki so enako oddaljene od fiksne točke, imenovane izhodišče. Krog je sestavljen iz vsake regije znotraj kroga. Oglejte si razliko v slikah:
Glej tudi:dolžina oboda in površina kroga
rešene vaje
Vprašanje 1 - Obod ima obod 628 cm. Določite premer tega kroga (sprejmite π = 3,14).
Resolucija
Ker je obseg enak 628 cm, lahko to vrednost nadomestimo z izrazom dolžine oboda.
2. vprašanje - Dva kroga sta koncentrična, če imata isto središče. Če to veste, določite površino prazne slike.
Resolucija
Upoštevajte, da moramo za določitev območja regije v beli barvi določiti površino večjega kroga in nato območja manjšega kroga z modro. Upoštevajte tudi, da če odstranimo modri krog, ostane le želeno območje, zato moramo ta območja odšteti. Poglej:
THEVEČJI = r2
THEVEČJI = (3,14) · (9)2
THEVEČJI = (3,14) · 81
THEVEČJI = 254,34 cm2
Zdaj izračunajmo površino modrega kroga:
THEMANJŠI = r2
THEMANJŠI = (3,14) · (5)2
THEMANJŠI = (3,14) · 25
THEMANJŠI = 78,5 cm2
Tako je prazno območje dano z razliko med večjo in manjšo površino.
THEBELA = 254,34 – 78,5
THEBELA = 175,84 cm2
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm