Vsa obstoječa števila so bila ustvarjena v skladu s človekovimi potrebami v času ustvarjanja, tako kot to velja za naravna števila, ki so bili ustvarjeni za štetje in nadzor "zalog" in iracionalna števila, ki so bila vzpostavljena za reševanje težav v zvezi z korenine. Ravno težave s koreninami so začele znanje o kompleksna števila.
Kvadratna enačba x2 + 4x + 5 = 0 nima pravih korenin. To pomeni, da znotraj nabora realnih števil ni mogoče najti vrednosti za x, ki bi enačile prvi člen te enačbe drugemu. Ta pojav opažamo od začetka formule Bhaskare:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Ko najdemo negativno vrednost za Δ, postane nemogoče nadaljevati z Bhaskarovo formulo, saj zahteva izračun √Δ (koren delte). Zdaj vemo, da √– 4 ni mogoče izračunati, ker ni dejanskega števila, ki bi, pomnoženo samo s seboj, povzročilo - 4.
Za te potrebe so bile ustvarjene kompleksne številke. Od njegovega nastanka je lahko √– 4 razvit na naslednji način:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Število √ (- 1) se razume kot nova vrsta številke. Množica vseh teh števil je znana kot množica kompleksnih števil in vsak predstavnik tega novega niza je opredeljen na naslednji način: Naj bo A kompleksno število, torej,
A = The + Bi, kje Thein B so realna števila in i = √ (- 1)
V tej definiciji je The Znano je kot resnični del A in B Znano je kot namišljeni del A.
Lastnosti kompleksnih števil
Realna števila v celoti in geometrijsko predstavljajo premico. Kompleksna števila pa predstavljajo celotno ravnino. Dekartova ravnina, ki se uporablja za predstavitev kompleksnih števil, je znana kot Argand-Gaussova ravnina.
Vsako kompleksno število lahko na ravnini Argand-Gauss predstavimo kot točko koordinat (a, b). Oddaljenost od točke, ki predstavlja kompleksno število, do točke (0,0) se imenuje modul kompleksnega števila., ki je opredeljen:
Naj bo A = a + bi kompleksno število, njegov modul je | A | = a2 + b2
Kompleksna števila imajo tudi inverzni element, imenovan konjugat. Opredeljen je kot:
Naj bo A = a + bi kompleksno število,
Ā = a - bi je konjugat tega števila.
Lastnost 1: Zmnožek kompleksnega števila in njegovega konjugata je enak vsoti kvadratov realnega dela in namišljenega dela kompleksnega števila. Matematično:
AĀ = a2 + b2
Primer: Kakšen je zmnožek A = 2 + 5i z njegovim konjugatom?
Samo naredite izračun: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Če bi se odločili napisati konjugat A in po tem izvesti množenje A perform, bi imeli:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Z uporabo predlagane lastnosti se je mogoče izogniti tako dolgemu izračunu kot tudi napakam med temi izračuni.
Lastnost 2: Če je kompleksno število A enako konjugati, je A realno število.
Naj bo A = a + bi. Če je A = Ā, potem:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Zato je b = 0
Zato je obvezno, da je vsako kompleksno število, ki je enako konjugatu, tudi realno število.
Lastnost 3: Konjugat vsote dveh kompleksnih števil je enak vsoti konjugatov teh števil., to je:
_____ _ _
A + B = A + B
Primer: Kakšen je konjugat vsote 7 + 9i in 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Najprej lahko dodate in nato izračunate konjugat rezultata ali pa najprej konjugate in nato rezultate dodate kasneje.
Lastnost 4: Konjugat proizvoda med dvema kompleksnima številoma je enak produktu njihovih konjugatov, t.j .:
__ _ _
AB = A · B
Primer: Kakšen je zmnožek konjugatov A = 7i + 10 in B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Glede na potrebo po vaji je mogoče najprej pomnožiti in nato izračunati konjugat ali prikazati konjugate pred množenjem.
Lastnost 5: Zmnožek kompleksnega števila A in njegovega konjugata je enak kvadratu modula A, t.j .:
AĀ = | A |2
Primer: A = 2 + 6i, nato AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Upoštevajte, da ni treba najti konjugata in izvesti množenja z distribucijsko lastnostjo množenja nad seštevanjem (znano kot majhna glava).
Lastnost 6: Modul kompleksnega števila je enak modulu njegovega konjugata. Z drugimi besedami:
| A | = | Ā |
Primer: Poiščite modul konjugata kompleksnega števila A = 3 + 4i.
Upoštevajte, da konjugata ni potrebna, saj so moduli enaki.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Če bi izračunali | Ā |, bi bila edina sprememba a B negativni kvadrat, kar ima pozitiven rezultat. Tako bi bil rezultat še vedno koren 25.
Lastnost 7: Če sta A in B kompleksni števili, je modul umnožka A in B enak modulu zmnožka A in B., tj .:
| AB | = | A || B |
Primer: Naj bo A = 6 + 8i in B = 4 + 3i, koliko je | AB |?
Upoštevajte, da pred izračunavanjem modula ni treba množiti kompleksnih števil. Možno je izračunati modul vsakega kompleksnega števila posebej in nato samo pomnožiti rezultate.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
