Poliedri (iz latinščine poli - veliko - in hedron - obraz) so številketridimenzionalni tvorjen z združitvijo pravilnih mnogokotnikov, pri katerih so poliedrični koti skladni. Združitev teh poligonov tvori elemente, ki sestavljajo polieder, so: oglišča, robovi in obrazi. Vendar pa ni vsaka tridimenzionalna slika polieder, primer tega so figure, ki imajo imenovane ukrivljene obraze okrogla telesa.
Obstaja matematična formula, ki povezuje elemente poliedra, imenovanega Eulerjeva zveza. Poleg tega so poliedri razdeljeni v dve skupini: tako imenovani poliedri konveksno in ni konveksna. Nekateri poliedri si zaslužijo posebno pozornost, imenovani so Platonovi poliedri: tetraeder, heksaeder, oktaeder, dodekaeder in ikosaedra.
Preberite tudi: Razlike med ravnimi in prostorskimi figurami
konveksni poliedri
Polieder bo konveksen, če ga tvori poligoni konveksno, tako da so sprejeti naslednji pogoji:
- dva poligona Nikoli so koplanarni, to pomeni, da ne pripadajo isti ravnini.
- Vsaka stran enega od teh poligonov pripada le dvema poligonoma.
- Ravnina, ki vsebuje katerega koli od teh poligonov, pušča ostale poligone v istem polprostoru.
Preberite tudi:Vsota notranjih in zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika
Elementi konveksnega poliedra
Upoštevajte ta konveksni polieder:
Ti štirikotniki na sliki obrazi poliedra.
Ti peterokotniki so ploskve in osnova poliedra, ki se imenuje peterokotni osnovni polieder.
Kličejo se segmenti, ki tvorijo vsak obraz robovi poliedra.
Kličejo se točke, kjer se stikajo robovi oglišča.
Klican bo odsek črte JC diagonalno poliedra, označen z:
Razumemo, da je JC ena od diagonal diagonalno poliedra kot biti odsek črte, ki združuje dve točki, ki ne pripadata isti ploskvi.
Imamo tudi poliedrski kot, oblikovan med robovi, označen z:
Poliedrski kot se imenuje a triedra Kdaj tri robovi izvirajo iz oglišča. Prav tako se imenuje tetraedrski, Ovitek štiri robovi izvirajo iz oglišča itd.
Odslej bomo določili nekaj zapisov, in sicer:
Izvedite več: Načrtovanje geometrijskih trdnih snovi
Lastnosti konveksnega poliedra
Lastnost 1
Vsota robov vseh ploskev je enaka dvakratnemu številu robov poliedra.
Primer
Polieder ima 6 kvadratnih ploskev. Določimo število robov.
Glede na lastnost samo pomnožite število robov obraza s številom obrazov in to je enako dvakratnemu številu robov. Tako:
Lastnost 2
Vsota oglišč vseh ploskev je enaka vsoti robov vseh ploskev, kar je enako dvakratnemu številu robov.
Primer
Polieder s 5 tetraedričnimi koti in 4 heksaedričnimi koti. Določimo število robov.
Analogno prejšnjemu primeru tudi druga lastnost pravi, da je vsota robov vseh ploskev enaka dvakratnemu številu robov. Število robov je dano zmnožku 5 na 4 in 4 na 6, saj so 5 tetraedrski in 4 heksaedrski koti. Tako:
Vbočeni (nekonveksni) poliedri
Polieder ni konveksen ali vbočen, če vzamemo dve točki na različnih obrazih in ravno r ki vsebuje te točke, ni vse v poliedru.
Upoštevajte, da ravna črta (v modri barvi) v poliedru ni popolna, zato je polieder (v roza barvi) konkaven ali nekonveksen.
pravilni poliedri
Pravimo, da je polieder pravilen kdaj vaši obrazi so pravilni poligoni med seboj enaki in s poliedrskimi koti enaki.
Oglejte si nekaj primerov:
Upoštevajte, da so vsi vaši obrazi pravilni poligoni. Njegove ploskve tvorijo kvadrati, robovi pa so skladni, to pomeni, da imajo enako mero.
preberitetudi: Kaj so pravilni in konveksni poligoni?
Eulerjeva zveza
Poznan tudi kot Eulerjev izrek, rezultat je dokazal Leonhard Euler (1707 - 1783) in jamči, da je v vsi zaprti konveksni poliedri velja naslednje razmerje:
Platonovi poliedri
Vsak polieder, ki izpolnjuje naslednje pogoje, se imenuje Platonov polieder:
Velja Eulerjeva relacija
Vsi obrazi imajo enako število robov
Vsi poliedrični koti imajo enako število robov
Dokazano je, da obstaja le pet pravilnih in izbočenih poliedrov ali Platonovih poliedrov:
pravilni tetraeder
tetraeder ima 4 trikotne obraze skladen in 4 trigrani koti skladen.
navadni heksaeder
heksaeder ima 6 kvadratnih obrazov skladen in 8 trigranih kotov skladen.
pravilni oktaeder
oktaeder ima 8 trikotnih obrazov skladen in 6 tetraedričnih kotov skladen.
navadni dodekaeder
dodekaeder ima 12 peterokotnih obrazov skladen in 20 kotovtriedra skladen.
navadni ikosaeder
Ikosaeder ima 20 trikotnih obrazov skladen in 12 pentaedričnih kotov skladen.
rešene vaje
1) (Enem) Dragulj je bil izrezan v obliki 32-obraznega konveksnega poliedra, od tega 20 heksaedrov, ostali pa peterokotni. Ta dragulj bo darilo dami, ki praznuje rojstni dan in dopolni starost, katere število je število točk tega poliedra. Ta gospa zaključuje:
a) 90 let
b) star 72 let
c) 60 let
d) 56 let
e) 52 let
Rešitev:
Daje lastnina 1 konveksnih poliedrov vemo, da:
Zdaj pa kako poznamo število robov to je število obrazov, lahko uporabimo Eulerjevo relacijo.
Ker je starost, ki jo dopolnjujete, enaka številu točk, je to 60 let. Alternativa c.
2) (PUC-SP) Koliko robov ima konveksni polieder s trikotnimi ploskvami, kjer je število tock tri petine števila ploskev?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Rešitev:
Iz lastnosti konveksnega poliedra in izjave o vaji imamo:
Če te vrednosti nadomestimo v Eulerjevi relaciji, imamo naslednje:
Iz organiziranja prejšnje enačbe in reševanja enačbe v F sledi, da:
Če nadomestimo vrednost števila obrazov, najdenih v enačbi robov, bomo imeli:
Alternativa b
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike