THE kombinatorna analiza je študijsko področje iz matematike, povezano s pravili štetja. V začetku 18. stoletja so se pri preučevanju iger, ki so vključevale kocke in karte, teorije štetja zelo razvile.
Delo kombinatorike omogoča uresničevanje vedno bolj natančnega štetja.Temeljno načelo štetja (PFC), faktorijel in vrste združevanja so primeri konceptov, proučenih v kombinatorni analizi, ki poleg zagotavljanja večji natančnost pomaga štrazvoj drugih področij matematike, kot npr The verjetnost in O Newtonov binom.
Preberite tudi vi: aranžma oz çkombinacija?
Čemu služi kombinatorna analiza?
Kombinatorična analiza je povezana s štetjem, to pomeni, da preučevanje tega področja matematike omogoča razvoj orodij, ki nam pomagajo pri izvajanju šteje bolj učinkovito. Oglejmo si tipičen problem štetja, glej:
Primer 1
Razmislite o treh mestih A, B in C, ki jih povezujejo avtoceste R1, R2, R3, R4 in R5. Ugotovite, na koliko načinov lahko skozi mesto B pridemo iz mesta A v mesto C
Upoštevajte, da moramo zapustiti mesto A in se odpraviti v mesto B in šele nato lahko odpotujemo v mesto C, zato analizirajmo vse možnosti za izvedbo prireditve po avtocestah.
1. pot: R1 → R3
2. pot: R1 → R4
3. način: R1 → R5
4. način: R2 → R3
5. način: R2 → R4
6. način: R2 → R5
Tako imamo šest različnih načinov, kako priti od mesta A do mesta C prek mesta B. Vendar upoštevajte, da je predlagana težava razmeroma preprosta in da je bila izvedena analiza malo zahtevna. Od zdaj naprej bomo preučevali bolj dovršena orodja, ki omogočajo reševanje težav z veliko manj dela.
Temeljno načelo štetja (PFC)
Razmislite o dogodku E, ki ga je mogoče izvesti v n neodvisnih in zaporednih korakih. Zdaj upoštevajte, da je število možnosti za izvedbo prvega koraka enako P1, predstavljajte si tudi, da je število možnosti za izvedbo druge faze P.2, in tako naprej, dokler ne pridemo do zadnje stopnje, ki ima Pšt možnosti za izvedbo.
Temeljno načelo štetja (PFC) navaja, da skupne možnosti prireditve prireditve E je podano:
P1 · P2 ·… · P.št
Tako je vsota dana zmnožku možnosti vsakega koraka, ki predstavlja dogodek E. Upoštevajte, da je za določitev skupnih možnosti za izvedbo prireditve E treba poznati skupne možnosti za vsako od etap.
2. primer
Ponovimo primer 1 z uporabo temeljnega načela štetja.
Upoštevajte sliko v primeru 1.
Upoštevajte, da lahko dogodek vodimo v dveh fazah, prva gre iz mesta A v mesto B, druga pa iz mesta B v mesto C. Za izvedbo prvega koraka imamo dve možnosti (ceste R1 in R2), za izvedbo druge faze pa imamo tri možnosti (R3, R4 in R5).
1. korak → dve možnosti
2. stopnja → tri možnosti
Po temeljnem načelu štetja moramo pomnožite skupne možnosti vsakega koraka.
2 · 3
6
Torej, če gremo iz mesta A v mesto C prek mesta B, imamo skupaj šest možnosti.
3. primer
Na koliko načinov lahko tri olimpijske medalje razdelimo na tekmovanju gorsko kolo s petimi tekmovalci?
Organizacija razdeljevanja medalj je dogodek, ki se lahko izvede v treh fazah. Prvi korak je analiza celotnih možnosti, kdo bo dobil zlato medaljo, to je, pet možnosti.
Drugi korak je analiza možnosti, kdo bo dobil srebrno medaljo, torej štiri, saj prvo mesto ne izbira. Tretji korak je analiza celotnih možnosti, kdo bo dobil bronasto medaljo, torej tri, saj sta prva dva že izbrana.
1. korak → pet možnosti
2. stopnja → štiri možnosti
3. stopnja → tri možnosti
Po temeljnem načelu štetja imamo:
5 · 4 · 3
60 možnosti
Glej tudi: Načelo štetja aditivov - združitev enega ali več nizov
Faktorial
O faktorijel je način razgradi naravno število. Za izračun faktorja števila ga preprosto pomnožite z vsemi predhodniki do števila 1. Faktorial je predstavljen s klicajem - “!”.
Oglejte si nekaj primerov, kako izračunati faktorijel nekaterih števil.
The) 2! (se glasi: dve faktorije)
Za izračun samo pomnožite število, ki spremlja faktorijel, z vsemi njegovimi predhodniki do števila 1, takole:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formalno lahko faktorije zapišemo tako:
Razmislite o naravnem številu n> 2. Faktor na n je označen z n! in je podan tako, da n pomnožimo z vsemi njegovimi pozitivnimi celoštevilnimi predhodniki.
ne! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Upoštevajte naslednje podatke:
4! in 5!
Zdaj izvedite razvoj obeh:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Upoštevajte, da pri razvoju 5! se zdi razvoj 4!. Tako lahko napišemo 5! tako:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
4. primer
Izračunaj faktorijel sektuljenje:
Glej, da 15! je bil razvit do 13.!. Upoštevajte tudi, da se v števcu ulomka elementi množijo, tako da lahko "odrežemo" 13!, kar ima za posledico le 15 · 14.
Opazovanje:0! = 1
Vrste razvrščanja
Nekateri problemi s štetjem so bolj zapleteni in jih je lažje rešiti z novimi orodji. Ta orodja se imenujejo združevanje, ker elemente združujejo na različne načine, kar olajša postopek štetja. Te skupine so: preprosta razporeditev, permutacija in preprosta kombinacija.
preprost dogovor
Razmislite o nizu z n različnimi elementi. recimo temu aranžma od n elementov, vzetih od p do p, poljubno zaporedje, razvrščeno po p, in ločene elemente, izbrane med elementi.
Tako bo število podskupin, ki jih tvorijo p elementi, razporeditev n elementov, vzetih od p do p. Formulo, ki nam omogoča izračun števila dogovorov, podaja:
Primer 5
Izračunajte vrednost A4,2 + A5,2.
Za izračun vrednosti izraza določimo vsak niz in nato te vrednosti seštejmo skupaj. Za določitev vrednosti vsake matrike moramo vrednosti nadomestiti s formulo.
Upoštevajte, da sta bila n = 4 in p = 2 v formuli nadomeščena. Zdaj moramo izračunati vrednost polja petih elementov, vzetih dva za dva.
Torej moramo:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Primer 6
Koliko ločenih štirimestnih naravnih števil lahko tvorimo s števili 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9?
Pri tej težavi lahko uporabimo preprosto ureditev, saj je od 2435 do 4235. Videli bomo, da jih v nekaterih primerih vrstni red elementov ne razlikuje, zato ureditve ne moremo uporabiti.
Ker želimo določiti vsoto števil, ki jih lahko tvorimo, bodite pozorni, da je vsota elementov enaka osem, in jih želimo razvrstiti po štiri, torej:
preprosta permutacija
Razmislite o nizu z n elementi. recimo temu preprosta permutacija od n elementov vsaka razporeditev n elementov, odvzetih n do n. Torej moramo:
Da ne bi prišlo do zmede med konceptoma, označimo preprosto permutacijo n elementov s Pšt. Torej moramo:
Pšt = n!
7. primer
Izračunaj P7 in P3.
Za izračun teh permutacij moramo vrednosti nadomestiti s formulo. Poglej:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Primer 8
Ugotovite, koliko anagramov je lahko v besedi Brazilija.
Kot anagram razumemo vse možne prenose črk besede, na primer "Lisarb" je a anagram besede Brazilija. Za določitev števila anagramov moramo izračunati permutacijo črk v besedi, zato moramo:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Zato ima beseda Brazilija 720 anagramov.
Dostop tudi: Permutacija s ponavljajočimi se elementi
preprosta kombinacija
Razmislite o množici A z n različnimi elementi. recimo temu kombinacija od n elementov, zajetih p do p katero koli podmnožico A, ki jo tvorijo p elementi. Formula za izračun kombinacije je podana z:
Primer 9
Izračunajte kombinacijo 10 elementov, vzetih od štirih do štirih.
Primer 10
Koliko štirikotniki ločeno lahko oblikujemo z oglišči v točkah A, B, C, D, E in F?
Upoštevajte, da je štirikotnik ABCD v tem kontekstu enak štirikotniku CDBA, zato bi morali uporabljati kombinacijo in ne nizov. Skupno imamo šest točk in jih želimo združiti štiri po štiri, takole:
Zato lahko oblikujemo 15 različnih štirikotnikov.
Kombinacijska analiza in verjetnost
Študija verjetnost je tesno povezana s preučevanjem kombinatorne analize.. Pri nekaterih verjetnostnih težavah je treba določiti vzorec prostora, ki je sestavljen iz niza, ki ga tvorijo vsi možni izidi danega dogodka.
V nekaterih primerih je vzorec E zapisan zelo neposredno, kot na flipu poštenega kovanca, kjer so možni izidi glave ali repi in so označeni na naslednji način:
E = {glave, repi}
Zdaj pa si predstavljajte naslednjo situacijo: matrico vržemo tri zaporedne zaporedje in zanima nas določitev vzorčnega prostora za ta poskus. Upoštevajte, da zapisovanje vseh možnosti ni več preprosta naloga, uporabiti moramo temeljno načelo štetja (PFC). Dogodek je mogoče izvesti v treh fazah, v vsaki od njih imamo šest možnosti, saj ima matrica šest obrazov, kot je ta:
1. stopnja → šest možnosti
2. stopnja → šest možnosti
3. stopnja → šest možnosti
PFC ugotavlja, da je skupno število možnosti:
6 · 6 · 6
216
Tako lahko rečemo, da je vzorčni prostor tega dogodka 216.
Glejte, da za preučevanje verjetnosti je potrebno je osnovno znanje kombinatorne analize., ker brez določitve vzorčnega prostora eksperimenta ni mogoče rešiti velike večine verjetnostnih vaj. Za več podrobnosti o tem področju matematike preberite besedilo:Verjetnost.
rešene vaje
Vprašanje 1 - Določite število anagramov besede grad. Nato določite število anagramov, ki se začnejo s črko c.
Resolucija
Za določitev števila anagramov moramo izračunati permutacijo števila črk, takole:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Beseda ima 5040 anagramov. Zdaj, da določimo število anagramov, ki se začnejo s črko c, moramo črko popraviti in izračunati anagram ostalih, glej:
Ç__ __ __ __ __ __
Ko popravimo črko c, upoštevajte, da je za izračun permutacije ostalo še šest polj, kot je ta:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Tako imamo 720 anagramov besede grad, ki se začnejo s črko c.
2. vprašanje - V učilnici je pet moških in sedem žensk. Koliko skupin treh moških in štirih žensk je mogoče oblikovati?
Resolucija
Najprej se prepričajte, da vrstni red, v katerem izbiramo ljudi, ni pomemben, na primer skupina, ki jo je sestavil João, Marcos in José je ista skupina, ki so jo oblikovali Marcos, João in José, zato moramo kombinacijo uporabiti za izračun.
Izračunajmo ločeno število skupin, ki jih lahko tvorijo moški in ženske, in v Potem pomnožimo te rezultate, kajti vsaka skupina moških se lahko meša z vsako skupino ženske.
Moški
Skupaj → 5
Količina v skupini → 3
Ženske
Skupaj → 7
Količina v skupini → 4
Zato je skupno število skupin, ki jih lahko tvorijo trije moški in štiri ženske:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm