razumevanje kompleti je glavna podlaga za preučevanje algebra in koncepti velikega pomena za matematiko, kot so funkcije in neenakosti. Zapis, ki ga uporabljamo za sklope, je vedno velika črka naše abecede (npr. Sklop A ali niz B).
V smislu predstavitev množic, to lahko stori do vennov diagrams preprostim opisom značilnosti njegovih elementov, z naštevanjem elementov ali z opisom njihovih lastnosti. Pri delu s težavami, ki vključujejo sklope, obstajajo situacije, ki zahtevajo delovanje operacije med nizi, ki je zveza, presečišče in razlika. Bomo vse to podrobno preučili?
Glej tudi: Številski izrazi - naučite se jih reševati!
Zapis in predstavitev množic
Za predstavitev niza vedno uporabimo a velika črka abecede, elementi pa so vedno med tipke in so ločeni z vejico. Za predstavitev nabora parnih števil, večjih od 1 in manjših od 20, na primer uporabimo naslednji zapis: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Oblike predstavitve množic
zastopanje s štetjem: lahko naštejemo njene elemente, to je, da naredimo seznam, vedno med oklepaji. Glej primer:
A = {1,5,9,12,14,20}
opisovanje lastnosti: lahko preprosto opišemo značilnost kompleta. Na primer, naj bo X množica, imamo, da je X = {x pozitivno število, večkratno 5}; Y: je niz mesecev v letu.
Vennov diagram: množice lahko predstavimo tudi v obliki diagrama, znanega kot vennov diagram, kar je učinkovitejša predstavitev za izvajanje operacij.
Primer:
Glede na množico A = {1,2,3,4,5} jo lahko predstavimo v naslednjem Vennovem diagramu:
Elementi sklopa in člansko razmerje
Glede na kateri koli element lahko rečemo, da je element pripada na nabor oz ne spadajo temu nizu. Za hitrejše predstavitev tega članskega odnosa uporabljamo simbole
(beri kot pripadno) in ∉ (beri kot ne pripada). Naj bo na primer P množica številke parov, lahko rečemo, da 7 ∉ P in da 12 P.
Enakost množic
Primerjava med množicami je neizogibna, zato lahko rečemo, da sta dve množici enaki ali ne, pri čemer preverimo vsak njen element. Naj bo A = {0,1,3,4,8} in B = {8,4,3,1,0}, tudi če sta elementa v drugem vrstnem redu, lahko rečemo, da sta množici A in B enaki: A = B.
Vključeno razmerje
Pri primerjavi dveh sklopov lahko naletimo na več odnosov, eden izmed njih pa je odnos vključenosti. Za to razmerje moramo poznati nekaj simbolov:
⊃ → vsebuje ⊂→ je vsebovan
⊅ → ne vsebuje ⊄→ni vsebovan
Nasvet: Uvodna stran simbola bo vedno obrnjena proti večjemu naboru. |
Ko vsi elementi množice A pripadajo tudi množici B, rečemo, da A ⊂ B ali da A vsebuje B. Na primer A = {1,2,3} in B = {1,2,3,4,5,6}. Zastopanje je mogoče izvesti tudi do vennov diagram, to bi izgledalo takole:
A vsebuje B:
A ⊂ B
Podmnožice
Ko a razmerje vključevanja, torej je množica A vsebovana v množici B, lahko rečemo, da je A podskupina skupine B. Podmnožica ostane nabor in a set ima lahko več podnaborov, zgrajena iz elementov, ki ji pripadajo.
Na primer: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} ima kot podmnožice sklope B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} in celo množica A {1,2,3,4,5,6,7,8}, to je A je podskupina samega sebe.
enotni komplet
Kot že ime pove, je to tisti sklop ima samo en element, kot je prej prikazan niz D: {1}. Glede na niz B: {1,2,3} imamo podmnožice {1}, {2} in {3}, ki so vsi nabori enot.
POZOR: Skupina E: {0} je tudi enotni niz, saj ima en element, "0", in ni prazen niz.
Preberite tudi: Nabor celih števil - elementi in značilnosti
prazen niz
S še bolj sugestivnim imenom prazen niz nima elementov in je podmnožica katerega koli niza. Za predstavitev praznega niza obstajata dve možni predstavitvi, to sta V: {} ali simbol Ø.
Kompleti delov
Kot sklope delov poznamo vse možne podskupine danega niza. Naj bo A: {1,2,3,4}, lahko naštejemo vse podskupine tega niza A, začenši z nabori, ki nimajo elementov (prazni) in nato tisti, ki imajo en, dva, tri in štiri elemente, oz.
prazen niz: { };
Nabori enot: {1}; {2};{3}; {4}.
Kompleti z dvema elementoma: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
kompleti s tremi elementi: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Komplet s štirimi elementi: {1,2,3,4}.
Nabor delov A lahko torej opišemo na ta način:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Za ugotovitev, na koliko delov je mogoče deliti niz, uporabimo formulo:
n [P (A)] = 2št
Število delov A se izračuna z a potenco osnova 2 dvignjena na št, Na čem št je število elementov v nizu.
Razmislite o nizu A: {1,2,3,4}, ki ima štiri elemente. Skupno število možnih podmnožic tega nabora je 24 =16.
Preberite tudi: Kakšen je niz iracionalnih števil?
Končni in neskončni niz
Pri delu z nizi najdemo nize, ki so omejeno (končno) in tisti, ki so neomejeno (neskončno). Nabor soda ali neparna številana primer je neskončno in, če ga predstavljamo, nekatere njegove elemente opisujemo zaporedoma, tako da je mogoče predvideti, kakšni bodo naslednji elementi, in vstavimo elipse Končno.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
V končnem nizu pa ne postavljamo elips na konec, saj ima definiran začetek in konec.
O: {1,2,3,4}.
vesolje nastavljeno
O vesolje nastavljeno, označeno z U, je opredeljen kot skupek, ki ga tvorijo vsi elementi, ki jih je treba upoštevati znotraj problema. Vsak element pripada naboru vesolja in vsak nabor je vsebovan v naboru vesolja.
Operacije z nizi
Operacije z množicami so: združitev, presečišče in razlika.
Presečišče množic
Do presečišča pride, kadar elementi hkrati pripadajo enemu ali več sklopom. Ko pišemo A∩B, iščemo elemente, ki spadajo tako v sklop A kot v sklop B.
Primer:
Razmislite o A = {1,2,3,4,5,6} in B = {2,4,6,7,8}, elementa, ki pripadata tako množici A kot B, sta: A∩B = {2, 4,6}. Prikaz te operacije se izvede na naslednji način:
A∩B
Kadar kompleti nimajo nobenih skupnih elementov, so znani kot disjontni nizi.
A∩B = Ø
razlika med nizi
izračunajte razlika med dvema nizoma je iskati elemente, ki pripadajo samo enemu od dveh sklopov. Na primer, A - B ima kot odgovor niz, sestavljen iz elementov, ki pripadajo nizu A in ne spadajo v sklop B.
Primer: A: {1,2,3,4,5,6} in B: {2,4,6,7,8}. Upoštevajte, da je A ∩ B = {2,4,6}, zato imamo:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Enotnost
Združitev dveh ali več sklopov je pridružite se svojim pogojem. Če obstajajo elementi, ki se ponovijo v obeh nizih, se zapišejo samo enkrat. Na primer: A = {1,2,3,4,5} in B = {4,5,6,7,10,14}. Za predstavitev zveze uporabljamo simbol (se glasi: Združitev z B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Če želite izvedeti več o teh operacijah in preveriti več rešenih vaj, preberite: Operacije z nizi.
Morganovi zakoni
Naj bosta A in B dve množici in naj bo U vesoljna množica, Morganovi zakoni določajo dve lastnosti, in sicer:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Primer:
Glede na sklope:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
O: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Preverimo, da (A U B)ç = Aç ∩Bç. Torej moramo:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Zato (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Da bi preverili resničnost enakosti, analizirajmo operacijo Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Potem, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
rešene vaje
01) Razmislite o U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} in B: {4,5,6, 7,8,9}. Pokažite, da (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Resolucija:
1. korak: poišči (A ∩ B)ç. Za to imamo A ∩ B = {4,5,6}, torej (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. korak: najtiç U Bç. THEç: {7,8,9,10} in Bç: {1,2,3,10}, torej Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Dokazano je, da (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Ko vemo, da je A skupek parnih števil od 1 do 20, kakšno je skupno število podskupin, ki jih lahko sestavimo iz elementov tega niza?
Resolucija:
Naj bo P opisani niz, imamo ta P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Zato je število elementov P 10.
Glede na sklop teorije delov je število možnih podmnožic P:
210=1024
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike