Trigonometrični krog: kaj je to, primeri, vaje

trigonometrični krog je krog polmera 1, predstavljen v Kartezijansko letalo. V njem je vodoravna os kosinusna os, navpična os pa sinusna os. Lahko mu rečemo tudi trigonometrični cikel.

Uporablja se za preučevanje trigonometričnih razmerij. Z njim je mogoče bolje razumeti glavne trigonometrične razloge za koti več kot 180 °, in sicer: sinus, kosinus in tangenta.

Preberite tudi: 4 najpogostejše napake v osnovni trigonometriji

Korak za korakom za izgradnjo trigonometričnega kroga

Za konstrukcijo trigonometričnega kroga uporabljamo dve osi, ena navpična in ena vodoravna, kot kartezijanska ravnina. Vodoravna os je znana kot kosinusna os, in navpična os je znana kot sinusna os.

Navpična os je sinusna os, vodoravna os pa kosinusna os.

Z gradnjo osi narišimo graf kroga s polmerom 1.

Trigonometrični krog, ki označuje merjenje polmera 1.

Trigonometrična razmerja v krogu

Krog uporabimo za iskanje vrednosti sinus, kosinus in tangenta, glede na vrednost kota. imeti v navpična os sinusna vrednost in na vodoravni osi kosinusna vrednost

, z določitvijo kota na trigonometričnem krogu lahko z analizo vrednosti poiščemo vrednost sinusa in kosinusa koordinate točke, kjer odsek črte povezuje središče kroga in obseg, ki ga na sliki a predstavlja P sledite. Če tangentno črto narišemo na krog v točki (1.0), lahko tangento tega kota izračunamo tudi analitično glede na sliko:

Koordinate točke P so P (cosα, sinα).

Preberite tudi: Kaj so sekanta, kosekant in kotangens?

Trigonometrični krožni radiani

Trigonometrični cikel z mero v stopinjah

Vemo, da je lok mogoče izmeriti z dvema različnima merskima enotama: mero v stopinjah in mero v radiani. To vemo obseg je 360 ​​° in da je dolžina vašega loka 2π:

Trigonometrično merjenje cikla v radianih

Kvadrante trigonometričnega kroga

Naj bo v radianih ali stopinjah, je mogoče določiti kvadrant, v katerem je določen lok, glede na njegovo merjenje.

Trigonometrični krog z navedbo kvadrantov

Če analiziramo cikel, moramo:

• prvi kvadrant: koti med 0 do 90 ° ali 0 in π / 2 radiana;

• drugi kvadrant: koti med 90 ° in 180 ° ali π / 2 in π radiani;

• tretji kvadrant: koti med 180 ° in 270 ° ali π in 3 π / 2 radiana;

• četrti kvadrant: koti med 270 ° in 360 ° ali radiani 3π / 2 in 2π.

Preberite tudi: Značilnosti in lastnosti načrta

Izjemni koti v trigonometričnem krogu

Na začetku študije trigonometrija, smo izvedeli, da so opazni koti koti 30º, 45º in 60º, ki imajo vrednost znanega sinusa, kosinusa in tangente. Zaradi simetrije trigonometričnega cikla pa za te kote in simetrične kote je mogoče najti vrednosti sinusa in kosinusa mu v vsakem kvadrantu.

Vrednosti sinusa in kosinusa za glavne kote trigonometrije

Trigonometrični krožni znaki

Da bi razumeli, kakšen je znak vsakega od trigonometričnih razmerij v ciklu, je dovolj, da analiziramo vrednosti osi v kartezični ravnini.

Začnimo s kosinusom. Ker gre za vodoravno os, je kosinus kotov, vključenih desno od navpične osi, pozitiven, kosinus kotov, vključenih levo od navpične osi, pa negativen.

Kosinus je v 1. in 4. kvadrantu pozitiven, v 2. in 3. kvadrantu pa negativen.

Zdaj, da bi razumeli sinusni znak kota, samo ne pozabite, da je navpična os sinusna os, zato je sinus kota nad vodoravno osjo pozitiven; če pa je kot pod vodoravno osjo, je sinus tega kota negativen, kot je prikazano na naslednji sliki:

Sinus je pozitiven v 1. in 2. kvadrantu, negativni pa v 3. in 4. kvadrantu.

To vemo tangenta je razmerje med sinusom in kosinusom, nato pa, da najdemo znak tangente za vsak kvadrant, igramo igro znakov, zaradi česar je tangenta pozitivna v neparnih in negativnih kvadrantih:

Tangenta je pozitivna v 1. in 4. kvadrantu, negativna pa v 2. in 3. kvadrantu.

Preberite tudi: Kaj so polravna, polravnina in polprostor?

simetrija v krogu

Analiza trigonometričnega cikla, je mogoče izdelati način za zmanjšanje sinusa, kosinusa in tangente na prvi kvadrant. To zmanjšanje pomeni iskanje v prvem kvadrantu kota, ki je simetričen kotu ostalih kvadrantov, ker je, ko delamo s simetričnim kotom, vrednost trigonometričnih razmerij enaka in spreminja le njegovo signal.

• Zmanjšanje kota, ki je v 2. kvadrantu na 1. kvadrant

Začenši s koti, ki so v 2. kvadrantu, moramo:

Kot vemo, je v 1. in 2. kvadrantu sinus pozitiven. Za izračun zmanjšanja sinusa iz 2. kvadranta v 1. kvadrant uporabimo formulo:

sin x = sin (180º - x)

Kosinus in tangenta v 2. kvadrantu sta negativna. Za zmanjšanje kosinusa iz 2. kvadranta v 1. kvadrant uporabimo formulo:

cosx = - cos (180º - x)

tg x = - tg (180º - x)

Primer:

Kolikšna je vrednost sinusa in kosinusa kota 120 °?

Kot 120 ° je kvadratni drugi kot, saj je med 90 ° in 180 °. Za zmanjšanje tega kota na 1. kvadrant izračunamo:

sin 120 ° = greh (180 ° - 120 °)

greh 120º = greh 60º

Kot 60 ° je izjemen kot, zato je njegova sinusna vrednost znana, zato:

Zdaj pa izračunajmo svoj kosinus:

cos 120º = - cos (180 - 120)

cos 120º = - cos 60º

Ker poznamo kosinus 60., moramo:

• Zmanjšanje kota, ki je v 3. kvadrantu na 1. kvadrant

Tako kot v 2. kvadrantu obstaja simetrija med koti v 3. kvadrantu in koti v 1. kvadrantu.

Sinus in kosinus v tretjem kvadrantu sta negativna. Za zmanjšanje sinusa in kosinusa iz 3. kvadranta v 1. kvadrant uporabimo formulo:

sin x = - sin (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180º)

Tangenta v 3. kvadrantu je pozitivna. Da ga zmanjšamo, uporabimo formulo:

tg x = tg (x - 180º)

Primer:

Izračunajte sinus, kosinus in tangento 225 °.

sin 225º = - greh (225º - 180º)

sin 225º = - sin 45º

Ker je 45 ° izjemen kot, moramo pri posvetovanju z mizo:

Zdaj, ko izračunamo kosinus, moramo:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Vemo, da je tg45º = 1, torej:

tg 225º = 1

• Zmanjšanje kota, ki je v 4. kvadrantu na 1. kvadrant

Z enakim razmišljanjem kot prejšnja zmanjšanja obstaja simetrija med 4. in 1. kvadrantom:

Vrednosti sinusa in tangente v 4. kvadrantu so negativne. Torej, da zmanjšamo s 4. na 1. kvadrant, uporabimo formulo:

sin x = - sin (360º - x)

tg x = - tg (360º - x)

Kosinus v 4. kvadrantu je pozitiven. Torej, če zmanjšamo na 1. kvadrant, je formula:

cos x = cos (360º - x)

Primer:

Izračunajte vrednost sinusa in kosinusa 330 °.

Začenši s sinusom:

Zdaj izračunamo kosinus:

Preberite tudi: Kako izračunati razdaljo med dvema točkama v prostoru?

Trigonometrične vaje, rešene v krogu

Vprašanje 1 - Med preučevanjem krožnega trenutka je fizik analiziral predmet, ki se je vrtel okoli sebe, in je oblikoval kot 15.240º. Če analiziramo ta kot, je lok, ki ga tvori, v:

A) kvadrant I.

B) kvadrant II.

C) kvadrant III.

D) kvadrant IV.

E) na vrhu ene od osi.

Resolucija

Alternativa B.

Vemo, da je ta objekt vsakih 360 ° zaključil krog okoli sebe. Pri izvajanju delitev od 15.240 na 360, bomo ugotovili, koliko popolnih obratov je ta predmet naredil okoli sebe, a naš glavni interes je preostanek, ki predstavlja kot, pod katerim se je ustavil.

15.240: 360 = 42,333…

Rezultat kaže, da je naredil 42 obratov okoli sebe, a 360 · 42 = 15,120, zato je pustil kot:

15.240 – 15.120 = 120º

Vemo, da je 120 ° kvadratni drugi kot.

Vprašanje 2 - Prosimo, presodite naslednje trditve:

I → Pri izračunu tg 140º bo vrednost negativna.

II → Kot 200 ° je kot 2. kvadranta.

III → Sen 130º = greh 50º.

Označi pravilno alternativo:

A) Samo jaz sem napačen.

B) Samo II je napačen.

C) Samo III je napačen.

D) Vse so resnične.

Resolucija

Alternativa B.

I → Res, ker kot 140º pripada 2. kvadrantu, pri katerem je tangenta vedno negativna.

II → False, saj je kot 200 ° kot 3. kvadranta.

III → Res je, ker za zmanjšanje kota iz 2. na 1. kvadrant samo izračunajte razliko 180 ° - x, nato:

sin 130 ° = greh (180 ° - 130 °)

greh 130. = greh 50.

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm