O pravokotni trikotnik dobi to ime, ker eden od njegovih kotov meri 90 °, to je pravi kot. Kot eden najbolj preučevanih poligonov v Ljubljani geometrija ravnine, je bilo mogoče videti nekatera razmerja med koti in tudi med stranicami te figure.
O Pitagorejski izrek, na primer, razvit je bil po spoznanju, da obstaja povezava med meritvami stranic trikotnika. Tako je ob poznavanju meritev dveh strani trikotnika mogoče izračunati vrednost tretje stranice. Pitagorin izrek pravi, da je vsota kvadrata nog vedno enaka kvadratu hipotenuze.
Poleg Pitagorinega izreka se je s preučevanjem tega trikotnika razvilo še eno pomembno področje trigonometrija, pri katerem se razvijejo razmerja med stranicami trikotnika, znanega kot sinus, kosinus in tangenta. Zaradi teh razlogov je bilo opaziti, da obstaja razmerje med meritvami stranic pravokotnih trikotnikov, ki imajo enake kote.
Preberite tudi: Katere so izjemne točke trikotnika?
Značilnosti pravokotnega trikotnika
Pravokotni trikotnik je a
mnogokotnik, ki ima tri stranicein tri kote, in eden od teh kotov je raven, torej ima 90 °. Druga dva kota sta akutna, to je manj kot 90 °. Najdaljša stran, ki je vedno nasproti kota 90 °, je znana kot hipotenuza, in druga dva se imenujeta pekarije.Pravokotni trikotnik ohranja vse znane lastnosti skupnega trikotnika, na primer dejstvo, da The vsota notranjih kotov enaka 180 °. Ker je vsota vedno 180º in ima en njen kot 90º, lahko rečemo, da se druga dva kota vedno dopolnjujeta, torej je tudi njihova vsota enaka 90º.
a in b → dojke
c → hipotenuza
Obod pravokotnika
Obod katerega koli poligona je dolžina vsote vseh njegovih strani. Torej, če želite izračunati obseg pravokotnega trikotnika, samo dodajte njegove stranice.
P = a + b + c
pravokotni trikotnik
THE območje trikotnika pravokotnik, kot tudi trikotnik poljuben, je polovica izdelka med dnom in višino. Pri pravokotnem trikotniku je posebnost to, da ena od njegovih krakov sovpada z njegovo višino, saj sta pravokotna drug na drugega, zato za izračun površine, pomnožimo noge in rezultat delimo z dvema.
Primer:
Izračunajte obseg in površino pravokotnega trikotnika spodaj, saj veste, da so njegove stranice podane v centimetrih.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Zdaj pa izračunajmo površino:
Glej tudi: Izračun površine trikotnika z uporabo kotov
Pitagorov izrek
Najbolj znan matematični izrek je nedvomno pitagorejski izrek. Iz tega izreka je bilo mogoče razbrati, da so stranice pravokotnega trikotnika povezane na naslednji način: glede na kateri koli pravokotni trikotnik, vsota kvadrata nog je enaka hipotenuzi na kvadrat.
a² + b² = c²
a in b → dojke
c → hipotenuza
Iz tega izreka je mogoče najti vrednost obeh strani pravokotnega trikotnika, če sta poznani drugi dve.
Primer:
Kolikšna je vrednost hipotenuze pravokotnega trikotnika spodaj, če vemo, da so njene mere podane v centimetrih?
Z uporabo pitagorejskega izreka moramo:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x = √100
x = 10 cm
Če želite izvedeti več o tej pomembni zvezi, preberite besedilo: TPitagorin eorem.
Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
Ime trigonometrija se že nanaša na predmet proučevanja:
- tri → tri;
- gono → kot;
- metrika → metrika ali mera.
Tako je trigonometrija področje matematike, ki preučuje razmerje med meritvami kotov trikotnika in tu se bomo držali desnega trikotnika. Trigonometrija preučuje razmerje med stranicami trikotnika glede na njegovo kota. S tem je bilo mogoče razviti pomembne koncepte, ki so razlogi sinus, kosinus in tangenta. Omeniti velja, da so se drugi trigonometrični razlogi razvili s poglabljanjem študija trigonometrije v trigonometričnem krogu.
Preden razumemo, katero od teh razmerij je, je pomembno razumeti, kaj je nasprotna stran in kaj sosednja stran pod kotom trikotnika.
Kot smo videli, hipotenuza je stran, predstavljena z odsekom AB, saj je vedno najdaljša stran trikotnika in tudi stran obrnjena pod kotom 90º. Druge strani so znane kot noge. Stran je lahko nasprotna ali sosednja, odvisno od kota, ki ga vzamemo za referenco.
Pekari je znan kot nasprotje, ko je obrnjen proti kotu. Stran, nasprotna kotu ꞵ, je na primer stran AC; po drugi strani pa je stran, ki je nasprotna kotni strani, stran BC.
O peccary je znan kot sosednji ko je on tvori kot v bližini hipotenuze. Upoštevajte, da je kot ꞵ med stranicama BC in AB. Ker je AB hipotenuza pravokotnega trikotnika, je AB kateta, ki meji na kot ꞵ. Z istim sklepanjem je mogoče videti, da je lado AC je sosednja stran kota ɑ.
Z razumevanjem vsake strani trikotnika je mogoče razumeti trigonometrična razmerja.
Da bi uporabili trigonometrična razmerja, moramo poznati izjemne kote, to so koti 30º, 45º in 60º. Večina težav z izpiti in sprejemnimi izpiti je povezanih s temi koti, zato je treba poznati vrednosti razlogov za vsakega od njih.
Glejte tabelo z vrednostmi sinusov, kosinusov in tangent za pomembne kote:
Če poznamo vrednost trigonometričnih razmerij trikotnika s pomočjo stranice in kota, je mogoče iz trigonometrije najti vse stranice pravokotnega trikotnika.
Primer:
Poiščite vrednost x.
Če želimo najti vrednost x, poglejmo kot, ki smo ga dobili. Upoštevajte, da je v bližini strani, s katere poznamo ukrep, to je, da je AC v bližini kota 30 °. Nato bomo uporabili tangentno razmerje, ki povezuje sosednjo stran in hipotenuzo. Tudi s pogledom na tabelo vemo, da je kosinus 30. enak √3 / 2.
Dostop tudi: 4 najpogostejše napake v osnovni trigonometriji
Rešene vaje
Vprašanje 1 - (IFG) Teodolit je natančen instrument za merjenje vodoravnih in navpičnih kotov, ki se uporablja pri gradbenih delih. Najelo je podjetje, ki je poslikalo štirinadstropno stavbo. Da bi ugotovila skupno površino, ki jo je treba pobarvati, mora najti višino stavbe. Ena oseba postavi instrument na višino 1,65 metra in pri tem najde kot 30 °, kot je prikazano na sliki. Ob predpostavki, da je teodolit oddaljen 13√3 metrov od stavbe, kolikšna je višina stavbe v metrih, ki jo je treba pobarvati?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Resolucija
Alternativa D.
Ker želimo najti stran nasproti kotu 30 °, saj vemo, da je razdalja 13√3, to je razdalja od teodolita do zgradbe, stran, ki meji na kot 30 °, zato bomo uporabili tangento:
Zdaj bomo dodali 13 + 1,65 = 14,65 metra visoko.
Vprašanje 2 - Za zasaditev posesti je kmet svoje pravo obdelovalno zemljišče v pravokotni obliki razdelil na polovico na diagonali, tako da je oblikoval dva pravokotna trikotnika. Pri tej delitvi bo polovica zemljišča ograjena z žico s 4 žicami. Koliko boste porabili za žico, če veste, da so dimenzije zemljišča široke 20 in dolge 21 metrov?
A) 29 metrov
B) 70 metrov
C) 140 metrov
D) 210 metrov
E) 280 metrov
Resolucija
Alternativa E.
Najprej poiščimo diagonalo terena, ki je hipotenuza pravokotnega trikotnika. Da bomo to olajšali, bomo naredili sliko stanja:
Torej moramo:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = 41841
d = 29
Za obhod moramo preiti 29 + 20 + 21 = 70 metrov, kot bo 4 kroga, 70 · 4 = 280 metrov.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm