Rešiti sistemovlinearno to je zelo ponavljajoča se naloga za študij na področjih naravoslovja in matematike. Iskanje neznanih vrednosti je privedlo do razvoja metod za reševanje linearnih sistemov, kot so metoda seštevanja, enakosti in substitucije za sisteme, ki imajo dve enačbi in dve neznankiin Crammerjevo pravilo in skaliranje, ki rešujejo linearne sisteme dveh enačb, vendar so bolj primerni za sisteme z več enačbami. Linearni sistem je skupek dveh ali več enačb z eno ali več neznankami.
Preberite tudi:Kakšen je odnos med matricami in linearnimi sistemi?
linearna enačba
Delo z enačbami obstaja zaradi najti neznane neznane vrednosti. Imenujemo jo enačba, če imamo algebrski izraz z enakostjo, in je razvrščena kot linearna, kadar je največji eksponent njenih neznank 1, kot je prikazano v naslednjih primerih:
2x + y = 7 → linearna enačba z dvema neznankama
a + 4 = -3 → linearna enačba z eno neznano
Na splošno lahko linearno enačbo opišemo z:
The1x1 +2x2 + a3x3... + aštxšt = c
Kot sistem enačb vemo, kadar obstaja več kot ena linearna enačba. Začeli bomo z linearnimi sistemi dveh neznank.
Reševanje linearnih sistemov
Linearni sistemi z dvema enačbama 1. stopnje in dvema neznankama
Za rešitev sistema dveh enačb in dveh neznank obstaja več metode, trije najbolj znani so:
- primerjalna metoda
- metoda dodajanja
- nadomestna metoda
Vsak od treh lahko reši linearni sistem dveh enačb in dveh neznank. Te metode niso tako učinkoviti za sisteme z več enačbami, saj obstajajo druge posebne metode za njihovo razrešitev.
Nadomestna metoda
Nadomestna metoda je sestavljena iz osamite eno od neznank v eni od enačb in izvedite zamenjavo v drugi enačbi.
Primer:
1. korak: osamite eno od neznank.
I imenujemo prva enačba, II pa enačba. Če analiziramo oba, pojdimo izberite neznano, ki ga je najlažje izolirati. Upoštevajte, da v enačba I → x + 2y = 5, x nima koeficienta, kar olajša izolacijo, zato bomo enačbo prepisali všeč mi je tole:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2y
2. korak: zamenjaj I v II.
Zdaj, ko imamo enačbo I samo z x, lahko v enačbi x x nadomestimo s 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Zamenjava x za 5 - 2 let:
3 (5 - 2y) - 5y = 4
Zdaj, ko ima enačba samo eno neznanko, jo je mogoče rešiti, da poiščemo vrednost y.
Če poznamo vrednost y, bomo vrednost x našli z nadomestitvijo vrednosti y v enačbi I.
I → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Rešitev sistema je torej S = {3,1}.
Metoda primerjave
Primerjalno metodo sestavljajo v obeh enačbah izoliraj neznanko in izenači te vrednosti.
Primer:
1. korak: naj bom prva enačba, II pa druga, izolirajmo eno od neznank v I in II. Če se odločimo za izolacijo neznanega x, moramo:
2. korak: enačijo dve novi enačbi, saj je x = x.
3. korak: nadomestite vrednost y z -2 v eni od enačb.
x = -4 - 3 leta
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Rešitev tega sistema je torej množica S = {2, -2}.
Glej tudi: Kakšne so razlike med funkcijo in enačbo?
metoda dodajanja
Metoda seštevanja je sestavljena iz množenja vseh členov ene od enačb na tak način, da se, kadar če enačbi I dodamo enačbo I, je ena od njenih neznank enaka nič.
Primer:
1. korak: pomnožite eno od enačb, tako da so koeficienti nasprotni.
Upoštevajte, da če enačbo II pomnožimo z 2, imamo v enačbi II 4y in v enačbi -4y in to z dodamo I + II, dobimo 0y, zato pomnožimo vse izraze v enačbi II z 2, tako da to zgodilo.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2. korak: izvedemo vsoto I + 2 · II.
3. korak: nadomestite vrednost x = 3 v eno od enačb.
Linearni sistemi s tremi enačbami 1. stopnje in tremi neznankami
Ko ima sistem tri neznanke, sprejmemo druge metode reševanja. Vse te metode povezujejo koeficiente z matricami, najpogosteje uporabljene metode pa so Crammerjevo pravilo ali skaliranje. Za ločljivost obeh metod je potrebna matrična predstavitev sistema, celo sistem 2x2 je mogoče predstaviti s pomočjo matrike. Obstajata dve možni predstavitvi, popolna matrika in nepopolna matrica:
Primer:
Sistem
Lahko ga zastopa polna matrica
In za nepopolna matrica
Crammerjevo pravilo
Če želite poiskati rešitve za sistem 3x3 z neznankami x, y in z, uporabite Crammerjevo pravilo, je treba izračunati determinanto nepopolne matrike in njene variacije. Torej moramo:
D → determinanta nepopolne matrice sistema.
Dx → determinanta nepopolne matrike sistema, ki nadomešča stolpec x s stolpcem neodvisnih izrazov.
Dy → determinanta nepopolne matrike sistema, ki nadomesti stolpec y s stolpcem neodvisnih izrazov.
Dz → determinanta nepopolne matrike sistema, ki nadomesti stolpec z s stolpcem neodvisnih izrazov.
Da bi našli vrednost vaših neznank, moramo najprej izračunati determinanta D, Dx, Dy povezan s sistemom.
Primer:
1. korak: izračunaj D.
2. korak: izračunaj Dx.
3. korak: potem lahko najdemo vrednost x, ker:
4. korak: izračunaj Dy
5. korak: potem lahko izračunamo vrednost y:
6. korak: Zdaj, ko poznamo vrednost x in y, lahko v obeh vrsticah poiščemo vrednost z z nadomestitvijo vrednosti x in y in izolacijo z. Druga možnost je izračun Dz.
Če v prvi enačbi nadomestimo x = 0 in y = 2:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Zato je sistemska rešitev ponudba (0,2, -1).
Dostop tudi: Reševanje problemov z enačbenimi sistemi
skaliranje
Druga metoda reševanja linearnih sistemov je skaliranje, pri kateri uporabljamo samo celotno matrico in operacije med vrsticami, da izoliramo njihove neznanke. Prilagodimo sistem spodaj.
1. korak: napišite celotno matrico, ki predstavlja sistem.
biti L1, L2 in L3 v vrsticah 1, 2 in 3 matrike bomo izvajali operacije med L1 in L2 in L1 in L3, tako da rezultat pomeni, da so izrazi v prvem stolpcu druge in tretje vrstice enaki nič.
Če analiziramo drugo vrstico matrike, jo nadomestimo z rezultatom L2 → -2 · L1 + L2, da izraz a21 izločimo.
The21 = -2 · 1 + 2 = 0
The22 = -2 · 2 + 1 = -3
The23 = -2 · (-3) + 1 = 7
The24 =-2 · 10 + 3 = -17
Torej L2 bo 0 -3 7 -17.
Če analiziramo tretjo vrstico matrike, jo nadomestimo z rezultatom L3 → 3L1 + L2, za ponastavitev izraza na31.
The31 = 3 · 1 – 3 = 0
The32 = 3 · 2 + 2 = 8
The33 = 3 · (-3) +1 = -8
The34 = 3 · 10 – 6 = 24
Torej L3 bo 0 8 -8 24.
Upoštevajte, da so vsi deljivi z 8, tako da je črta L3 naj bo preprosto, delimo z 8.
L3 → L3 : 8 bo: 0 1-1 3.
Nova matrica lestvice bo torej:
Zdaj je cilj ponastaviti stolpec y v tretji vrstici, izvajali bomo operacije med L2 in L3, s ciljem ponastavitve drugega stolpca enega od njih.
L3 bomo zamenjali z L3 → L2 + 3L3.
The31 = 0 + 3 · 0 = 0
The32 = -3 + 3 · 1 = 0
The33 = 7 + 3 · (-1) = 4
The34 = -17 + 3 · 3 = -8
Torej L3 bo: 0 0 4 -8.
Nova lestvica matric bo:
Zdaj, ko to matriko spet predstavimo kot sistem in v stolpce dodamo x, y in z, bomo našli naslednje:
Nato lahko najdemo vrednost vsake neznanke. Pri analizi enačbe III moramo:
Če je z = -2, nadomestimo vrednost z v drugo enačbo:
Končno v prvi enačbi nadomestimo vrednost y in z, da najdemo vrednost x.
Glej tudi: Sistem neenakosti 1. stopnje - kako ga rešiti?
linearna sistemska klasifikacija
Linearni sistem je niz linearnih enačb, ki imajo lahko več neznank in več enačb. Obstaja več metod za njegovo reševanje, ne glede na število enačb. tam so drevesa ocene za linearni sistem.
- Določeni možni sistem (SPD): ko imate eno samo rešitev.
- Nedoločen možen sistem (SPI): ko ima neskončne rešitve.
- nemogoče sistem(SI): ko ni rešitve.
rešene vaje
Vprašanje 1 (IFG 2019) Upoštevajte vsoto meritev osnove in višine glede na osnovo trikotnika, ki je enaka 168 cm in razlika enaka 24 cm. Pravilno je trditi, da so bile meritve podstavka in višine glede na to osnovo mere:
a) 72 cm in 96 cm
b) 144 cm in 24 cm
c) 96 cm in 72 cm
d) 24 cm in 144 cm
Resolucija
Alternativa C.
Naj bo h → višina in b → osnova, potem imamo naslednji sistem:
Z načinom dodajanja moramo:
Če želimo najti vrednost h, v prvo enačbo nadomestimo b = 96 cm:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
v = 72 cm
2. vprašanje Nepopolna matrica, ki predstavlja naslednji linearni sistem, je:
Resolucija
Alternativa C.
Nepopolna matrica je tista, ki ima koeficiente x, y in z, zato bo matrika 3x3. Pri analizi alternativ je tista, ki vsebuje matriko 3x3 s pravilnimi znaki, črka C.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
