Teorem polinomske razgradnje

Temeljni izrek algebre za polinomske enačbe jamči, da "polinom vsake stopnje n≥ 1 ima vsaj en kompleksen koren ". Dokaz tega izreka je leta 1799 naredil matematik Friedrich Gauss. Iz tega lahko dokažemo izrek polinomske razgradnje, ki zagotavlja, da je kateri koli polinom mogoče razgraditi na faktorje prve stopnje. Vzemimo naslednji polinom p (x) razreda n ≥ 1 in_št ≠ 0:

p (x) = a_št x^št +_n-1 x^n-1 +… +₁x¹ +₀

Skozi temeljni izrek algebre lahko trdimo, da ima ta polinom vsaj en kompleksen koren. u₁, tako da p (u₁) = 0. O D'Alembertov izrek do delitev polinoma navaja, da če p (u₁) = 0, potem p (x) je deljivo z (x - u₁), kar ima za posledico količnik kaj₁(x), ki je stopinjski polinom (n - 1), kar nas vodi k temu, da rečemo:

p (x) = (x - u₁). kaj₁(x)

Iz te enačbe je treba izpostaviti dve možnosti:

Če je u = 1 in kaj₁(x) je polinom stopnje (n - 1), potem kaj₁(x) ima diplomo 0. Kot prevladujoči koeficient p (x) é The_št, kaj₁(x) je konstanten polinom tipa kaj₁(x)=The_št. Torej imamo:

p (x) = (x - u₁). kaj₁(x)
(x) = (x - u₁). The_št
p (x) = a_št . (x - u₁)

Ampak če u ≥ 2, nato polinom kaj₁ ima diplomo n - 1 ≥ 1 in velja osnovni izrek algebre. Lahko rečemo, da je polinom kaj₁ ima vsaj en koren št₂, kar nas vodi k temu, da to trdimo kaj₁ lahko zapišemo kot:

kaj₁(x) = (x - u₂). kaj₂(x)

Ampak kako p (x) = (x - u₁). kaj₁(x), lahko ga prepišemo kot:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). kaj₂(x)

Po zaporednem ponovitvi tega postopka bomo imeli:

p (x) = a_št. (x - u₁). (x - u₂)… (X - u_št)

Tako lahko sklepamo, da je vsaka polinom ali polinom enačba p (x) = 0 razreda n≥ 1 lastno natančno št kompleksne korenine.​

Primer: Bodi p (x) polinom stopnje 5, takšne, da so njegove korenine – 1, 2, 3, – 2 in 4. Napišite ta polinom, razčlenjen na faktorje 1. stopnje, ob upoštevanju prevladujoči koeficient enako 1. Napisano mora biti v razširjeni obliki:

če – 1, 2, 3, – 2 in 4 so korenine polinoma, torej zmnožek razlik x za vsako od teh korenin povzroči p (x):

p (x) = a_št. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Če je prevladujoči koeficient The_št = 1, imamo:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Avtorica Amanda Gonçalves
Diplomiral iz matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm