Množenje matric: kako izračunati, primeri

THE mmnoženje matrike se izvaja prek algoritma, ki zahteva veliko pozornosti. Da obstaja izdelek med matrico A in matrico B, potrebno je, da je število stolpci daje najprej sedež, v primeru A, je enako številu črte daje Ponedeljek sedež, v primeru B.

Iz množenja med matricami je mogoče razbrati, kaj je identitetna matrika, kaj je nevtralen element množenja matrike in kaj je inverzna matrika matrike M, ki je matrika M^-1 katerega produkt M z M^-1 je enako identitetni matrici. Možno je tudi pomnožiti matrico z realnim številom - v tem primeru pomnožimo vsak od pogojev sedež po številki.

Preberite tudi: Kaj je trikotna matrica?

pogoj obstoja

Množenje med matricami je postopek, ki zahteva veliko pozornosti.

Če želite pomnožiti dve matriki, morate najprej preveriti pogoj obstoja. Da izdelek obstaja, število stolpcev v prvi matrici mora biti enako številu vrstic v drugi matrici. Poleg tega je rezultat množenja matrika, ki ima enako število vrstic kot prva matrika in enako število stolpcev kot druga matrica.

Na primer, zmnožek AB med matricami A_3x2 in B_2x5 obstaja, ker je število stolpcev v A (2 stolpca) enako številu vrstic v B (2 vrstici), rezultat pa je matrika AB_3x5. Že produkt med matricami C._3x5 in matriko D_2x5 ne obstaja, saj ima C 5 stolpcev, D pa 3 vrstice.

Kako izračunati zmnožek med dvema matricama?

Če želite izvesti množenje matrik, je treba slediti nekaterim korakom. Naredili bomo primer množenja algebraične matrike A_2x3 z matrico B_3x2

Vemo, da izdelek obstaja, ker ima matrika A 3 stolpce, matrica B pa 3 vrstice. C bomo poimenovali rezultat množenja A · B. Poleg tega vemo tudi, da je rezultat matrika C._2x2, ker ima matrika A 2 vrstici, matrica B pa 2 stolpca.

Za izračun zmnožka matrike A_2x3 in matriko B_3x2, sledimo nekaj korakom.

Najprej bomo našli vsakega od pogojev matrike C_2x2:

Poiščimo izraze vrstice matrike A vedno povežite s stolpci matrike B:

ç₁₁ → 1. vrstica A in 1. stolpec B
ç₁₂ → 1. vrstica A in 2. stolpec B
ç₂₁ → 2. vrstica A in 1. stolpec B
ç₂₂ → 2. vrstica A in 2. stolpec B

Vsakega pojma izračunamo tako, da pomnožimo izraze v vrstici A in izraze v stolpcu B. Zdaj moramo te izdelke dodati najprej ç_11:

1. vrstica A
1. stolpec B

ç₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

izračunavanje ç₁₂:

1. vrstica A
2. stolpec B

ç₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

izračunavanje ç₂₁:

2. vrstica A
1. stolpec B

ç₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

izračun izraza ç₂₂:

2. vrstica A
2. stolpec B

ç₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Tako matriko C tvorijo izrazi:

Primer:

Izračunajmo množenje med matricama A in B.

To vemo v A_2x2 in B_2x3, število stolpcev v prvem je enako številu vrstic v drugem, zato izdelek obstaja. Torej bomo naredili C = A · B in vemo, da je C_2x3.

Če pomnožimo, moramo:

Glej tudi: Kaj je prenesena matrica?

matrika identitete

Pri množenju med matricami je nekaj posebnih primerov, kot je matrika identitete, ki je nevtralni element množenja med matricami.. Matrika identitete je kvadratna matrika, to pomeni, da je število vrstic vedno enako številu stolpcev. Poleg tega so samo členi diagonale v njej enaki 1, vsi drugi členi pa enaki nič. Ko matrico M pomnožimo z identitetno matriko I_št, Moramo:

M · I_št = M

Identitetne matrike od 2. do 5. reda

Primer:

Kaj je inverzna matrika?

Glede na matriko M jo poznamo kot inverzno matriko M. matriko M^-1katerega izdelek M · M^-1 enako à matrika identitete I_št. Da ima matrika inverzno vrednost, mora biti kvadratna in njena determinanta mora biti drugačen od 0. Oglejmo si primere matric, ki so inverzne:

Pri izračunu zmnožka A · B moramo:

Upoštevajte, da produkt med matriko I in B, ki jo generira B₂. Ko se to zgodi, rečemo, da je B inverzna matrika A. Če želite izvedeti več o tej vrsti matrike, preberite: Inverzna matrika.

Množenje matrike z realnim številom

Za razliko od množenja med matricami obstaja tudi množenje matrik z eno realno število, kar je veliko preprostejša operacija iskanja rešitve.

Glede na matriko M množenje matrike z realnim številom k je enako matrici kM. Da bi našli to matriko kM, dovolj pomnoži vse izraze v matriki s konstanto k.

Primer:

če k = 5 in ob upoštevanju matrike M spodaj poiščite matriko 5M.

Množenje:

Rešene vaje

Vprašanje 1 - (Unitau) Glede na matriki A in B,

vrednost elementa c₁₁ matrike C = AB je:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Resolucija

Alternativa A.

Kako želimo izraz c₁₁, pomnožimo izraze v prvi vrstici in A s pojmi v prvem stolpcu B.

izračun c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Vprašanje 2 - (Enem 2012) Študent je dvomesečne ocene nekaterih svojih predmetov vpisal v tabelo. Opozoril je, da številčni vnosi v tabelo tvorijo matriko 4 × 4 in da lahko izračuna letna povprečja za te discipline z uporabo matrikov. Vsi testi so imeli enako težo, tabela, ki jo je dobil, je prikazana spodaj.

Za pridobitev teh povprečij je matriko, dobljeno iz tabele, pomnožil z matrico:

Resolucija

Alternativa E.

Povprečje ni nič drugega kot vsota elementov, deljena s številom elementov. Upoštevajte, da so v vrstici 4 opombe, zato bi bilo povprečje vsota teh opomb, deljena s 4. Delitev s 4 je enako množenju z ulomek ¼. Tudi matrika ocen je matrika 4x4, zato moramo pomnožiti z matrico 4x1, torej ima 4 vrstice in 1 stolpec, da poiščemo matrico, ki ima povprečje ocen.

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm