Inverzna matrica: kaj je to, kako najti vaje

Koncept inverzna matrika se zelo približa konceptu inverzne številke. Spomnimo se, da je obratno število št je številka št^-1, kjer je zmnožek med obema enak nevtralnemu elementu množenje, to je številka 1. Že inverzna matrika M je matrica M^-1, kjer je izdelek M · M^-1 je enako identitetni matriki I_ne, kar je nič drugega kot nevtralni element množenja matric.

Da ima matrika inverzno, mora biti kvadratna, poleg tega pa mora biti njen determinant drugačen od nič, sicer ne bo inverzne. Za iskanje inverzne matrike uporabimo matrično enačbo.

Preberite tudi vi: Trikotna matrica - posebna vrsta kvadratne matrice

Da ima matrika inverzno, mora biti kvadratna.

matrika identitete

Da bi razumeli, kaj je inverzna matrika, je najprej treba poznati identitetno matriko. Kot identitetno matrico poznamo kvadratno matriko I_št kjer so vsi elementi glavne diagonale enaki 1, drugi členi pa 0.

THE identitetna matrika je nevtralen element množenja med matricami., to je glede na a sedež M reda n, zmnožek med matrico M in matrico I_št je enako matriki M.

M · I_št = M

Kako izračunati inverzno matriko

Da bi našli inverzno matriko M, moramo rešiti matrično enačbo:

 M · M^-1 = Jaz_št

Primer

Poiščite inverzno matriko M.

Ker ne poznamo inverzne matrike, jo predstavimo algebraično:

Vemo, da mora biti zmnožek med temi matricami enak I₂:

Zdaj pa rešimo matrično enačbo:

Problem je mogoče ločiti na dva dela sistemov enačbe. Prvi uporablja prvi stolpec matrike M · M^-1 in prvi stolpec identitetne matrike. Torej moramo:

Za rešitev sistema izolirajmo₂₁ v enačbi II in nadomestite v enačbi I.

Če v enačbi I nadomestimo, moramo:

Kako najdemo vrednost a₁₁, potem bomo našli vrednost a₂₁:

Poznavanje vrednosti a₂₁ in₁₁, zdaj bomo z nastavitvijo drugega sistema našli vrednost drugih izrazov:

izoliranje₂₂ v enačbi III moramo:

3.₁₂ + 1.₂₂ = 0

The₂₂ = - 3.₁₂

V enačbi IV nadomestimo:

5.₁₂ + 2.₂₂ =1

5.₁₂ + 2 · (- 3.₁₂) = 1

5.₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Poznavanje vrednosti a₁₂, bomo našli vrednost a₂₂ :

The₂₂ = - 3.₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Zdaj, ko poznamo vse izraze matrike M^-1, ga je mogoče predstaviti:

Preberite tudi: Seštevanje in odštevanje matric

Inverzne lastnosti matrike

Obstajajo lastnosti, ki izhajajo iz definiranja inverzne matrike.

• 1. nepremičnina: inverzna matrika M^-1 je enako matriki M. Inverzna vrednost inverzne matrike je vedno sama matrika, to je (M^-1)^-1 = M, ker vemo, da je M^-1 · M = I_št, torej M^-1 je inverzna M in tudi M je inverzna M^-1.
• 2. nepremičnina: inverzna identitetna matrica je sama: I^-1 = I, ker produkt identitetne matrice sam po sebi povzroči identitetno matriko, to je I_št · JAZ_št = Jaz_št.
• 3. nepremičnina: inverzna vrednost zmnožek dveh matrikali si je enako zmnožku inverz:

(M × V)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. lastnost: kvadratna matrica ima obratno, če in samo, če je determinanta se razlikuje od 0, to je det (M) ≠ 0.

Rešene vaje

1) Glede na matriko A in matrico B, če vemo, da sta inverzni, je vrednost x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolucija:

D.

Sestavljanje enačbe:

A · B = I 

V drugem stolpcu, ki je enak izrazom, moramo:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Izolacija x v I:

Zamenjava v enačba II, moramo:

Če poznamo vrednost y, bomo našli vrednost x:

Zdaj izračunajmo x + y:

2. vprašanje

Matrica ima inverzno le, če se njen determinant razlikuje od 0. Če pogledamo matriko spodaj, kakšne so x vrednosti, zaradi katerih matrica ne podpira inverzno?

a) 0 in 1.

b) 1 in 2.

c) 2 in - 1.

d) 3 in 0.

e) - 3 in - 2.

Resolucija:

Alternativa b.

Pri izračunu determinante A želimo vrednosti, kjer je det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

reševanje Enačba 2. stopnje, Moramo:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm