Pojmi večkratniki in delilniki naravnega števila razširiti na množico cela števila. Ko se ukvarjamo s temo večkratnikov in delilnikov, se sklicujemo na številski nizi ki izpolnjujejo nekatere pogoje. Večkratnike najdemo po množenju s celimi števili, delilniki pa so števila, deljiva z določenim številom.
Zaradi tega bomo našli podmnožice celih števil, saj so elementi množic večkratnikov in delilniki elementi množice celih števil. Da bi razumeli, kaj so praštevila, je treba razumeti koncept deliteljev.
večkratniki števila
biti The in B dve znani celi števili, število The je večkratnik B če in samo, če obstaja celo število k tako, da The = B · K. Tako je množica v Thedobimo z množenjemTheza vsa cela števila, rezultati teh množenja so večkratniki The.
Naštejmo na primer prvih 12 večkratnikov 2. Za to moramo številko 2 pomnožiti s prvih 12 celih števil, takole:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Zato so večkratniki 2:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Upoštevajte, da smo navedli samo prvih 12 številk, lahko pa jih naštejemo toliko, kolikor je potrebno, saj je seznam večkratnikov podan tako, da število pomnožimo z vsemi celimi števili. Tako množica večkratnikov je neskončna.
Če želimo preveriti, ali je število večkratnik števila, moramo poiskati celo število, tako da z množenjem med njimi dobimo prvo število. Oglejte si primere:
→ Število 49 je večkratnik 7, ker obstaja celo število, ki pomnoženo s 7 povzroči 49.
49 = 7 · 7
→ Število 324 je večkratnik 3, saj obstaja celo število, ki pomnoženo s 3 povzroči 324.
324 = 3 · 108
→ Številka 523 št je večkratnik 2, ker ni celo število kar pomnoženo z 2 povzroči 523.
523 = 2 · ?
Preberite tudi: Lastnosti množenja, ki olajšajo miselno računanje
Večkratniki 4
Kot smo videli, moramo za določitev večkratnikov števila 4 število 4 pomnožiti s celimi števili. Tako:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Zato so večkratniki 4:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Večkratniki 5
Analogno imamo večkratnike 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Zato so večkratniki 5: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
delilniki ene številke
biti The in B recimo dve znani celi številki B je delilnik The če je številka B je večkratnik The, to je delitev vmes B in The je natančen (mora oditi počitek 0).
Oglejte si nekaj primerov:
→ 22 je večkratnik 2, torej je 2 delitelj 22.
→ 63 je večkratnik 3, torej je 3 delitelj 63.
→ 121 ni večkratnik 10, torej 10 ni delitelj 121.
Če želimo našteti delilnike števila, moramo poiskati števila, ki ga delijo. Poglej:
- Naštej delilnike 2, 3 in 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Upoštevajte, da so številke na seznamu deliteljev vedno deljive z zadevno številko in to najvišja vrednost na tem seznamu je številka sama., saj nobeno število, večje od njega, ne bo deljivo z njim.
Na primer, pri delilnikih 30 je največja vrednost na tem seznamu 30, saj nobeno število, večje od 30, z njim ne bo deljivo. Tako:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Izvedite več: Zabavna dejstva o deljenju naravnih števil
Lastništvo večkratnikov in delilcev
Te lastnosti so povezane z delitev med dvema celo številoma. Upoštevajte, da kadar je celo število večkratnik drugega, je tudi deljivo s to drugo številko.
Razmislite o algoritem delitve tako da lahko bolje razumemo lastnosti.
N = d · q + r, kjer sta q in r celi števili.
Zapomni si to N je poklican dividende;d, za delilnik;q, za količnik; in r, mimogrede.
→ Lastnost 1: Razlika med dividendo in preostankom (N - r) je večkratnik delitelja ali pa je število d delitelj (N - r).
→ Lastnost 2: (N - r + d) je večkratnik d, to je, da je število d delitelj (N - r + d).
Glej primer:
- Ko delimo 525 na 8, dobimo količnik q = 65 in ostanek r = 5. Tako imamo dividendo N = 525 in delitelj d = 8. Glejte, da so lastnosti izpolnjene, ker je (525 - 5 + 8) = 528 deljivo z 8 in:
528 = 8 · 66
praštevila
Ti praštevila so tisti, ki imajo na seznamu kot delitelj samo številko 1 in samo številko. Če želite preveriti, ali je število glavno ali ne, je ena najbolj trivialnih metod seznam deliteljev tega števila. Če se pojavijo številke več kot 1 in zadevno število, to ni glavno.
→ Preverite, katera so praštevila med 2 in 20. Za to naštejmo delilnike vseh teh števil med 2 in 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Praštevila med 2 in 20 so torej:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 in 19}
Upoštevajte, da je nabor nekaj prvih, ta seznam se nadaljuje. Upoštevajte, da večje kot je število, težje je ugotoviti, ali je glavno ali ne.
Preberi več: Iracionalne številke: tiste, ki jih ni mogoče predstaviti z ulomki
Rešene vaje
Vprašanje 1 - (UMC-SP) Število elementov v nizu glavnih deliteljev 60 je:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Rešitev
Alternativa A
Najprej bomo našteli delitelje 60, nato pa si bomo ogledali, kateri so glavni.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Od teh številk imamo glavne:
{2, 3, 5}
Zato je število glavnih deliteljev 60 3.
2. vprašanje - Zapišite vsa naravna števila, manjša od 100 in večkratnike 15.
Rešitev
Vemo, da so večkratniki 15 rezultat množenja števila 15 z vsemi celimi števili. Ker vaja zahteva, da napišemo naravna števila, manjša od 100 in ki so večkratniki 15, moramo pomnožite 15 z vsemi števili, večjimi od nič, dokler ne najdemo največjega večkratnika pred 100, tako:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Zato so naravna števila, manjša od 100 in večkratniki 15:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
3. vprašanje - Kaj je največji večkratnik 5 med 100 in 1001?
Rešitev
Če želite določiti največji večkratnik 5 med 100 in 1001, preprosto določite prvi večkratnik 5 nazaj.
1001 ni večkratnik 5, saj ne obstaja celo število, ki bi pomnoženo s 5 povzročilo 1001.
1000 je večkratnik 5, saj je 1000 = 5 · 200.
Zato je največji večkratnik 5 med 100 in 1001 1000.
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm