Ena aritmetično napredovanje (PA) je a zaporedje numerično, pri katerem je vsak člen vsota prejšnjega s konstanto, imenovano razmerje. Obstajajo matematični izrazi določiti trajanje PA in izračunati vsoto njegovega št prvi pogoji.
Formula, uporabljena za izračun vsota izrazov končnega PA ali vsota št prvi člen PA je naslednji:
sšt = ob1 +št)
2
* n je število izrazov BP; The1 je prvi izraz inšt je zadnji.
Izvor vsote pogojev PA
Rečeno je, da je bil nemški matematik Carl Friederich Gauss pri približno 10 letih kaznovan s svojim poukom v šoli. Učitelj je učencem naročil, naj seštejejo vse številke v zaporedje od 1 do 100.
Gauss ni bil le prvi, ki je končal v zelo kratkem času, bil je tudi edini, ki je dosegel pravi rezultat (5050). Poleg tega ni pokazal nobenih izračunov. Popravil je naslednjo lastnino:
Vsota dveh izrazov, enako oddaljenih od skrajnosti končnega PA, je enaka vsoti ekstremov.
O tem ni bilo nobenega znanja PAN takrat je Gauss pregledal seznam številk in spoznal, da bo dodajanje prvega zadnjemu povzročilo 101; če bi drugega dodali predzadnjemu, bi bil rezultat tudi 101 in tako naprej. Kot vsota vseh parov izrazov
enako oddaljena ekstremov je prišlo do 101, Gauss je moral to število le pomnožiti s polovico razpoložljivih pogojev, da je našel rezultat 5050.Upoštevajte, da je od številke 1 do številke 100 točno 100 številk. Gauss je spoznal, da bo, če jih bo sešteval dva za dva, dobil 50 rezultatov, enakih 101. Zato je bilo to množenje izvedeno za polovico skupnih izrazov.
Prikaz vsote izrazov PA
Ta podvig je povzročil izraz, ki se uporablja za izračun vsota št prvi pogoji PA. Taktika, s katero smo prišli do tega izraza, je naslednja:
dano eno PAN kateri koli, bomo dodali prvih n njegovih izrazov. Matematično bomo imeli:
sšt =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +št
Tik pod tem vsota izrazov, napisali bomo še enega, z enakimi izrazi kot prejšnji, vendar v padajočem pomenu. Upoštevajte, da je vsota izrazov v prvem enaka vsoti izrazov v drugem. Zato sta bila oba izenačena s Sšt.
sšt =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +št
sšt =št +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
Upoštevajte, da sta bila ta dva izraza pridobljena iz enega samega PAN in da so enako oddaljeni izrazi poravnani navpično. Zato lahko dodamo izraze, da dobimo:
sšt =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +št
+ sšt =št +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
2Sšt = (1 +št) + (a2 +n - 1) +… + (An - 1 +2) + (ašt +1)
Ne pozabite, da je vsota izrazov, enako oddaljenih od skrajnosti, enaka vsoti skrajnosti. Zato lahko vsako oklepaj nadomestimo z vsoto skrajnosti, kot bomo storili naslednje:
2Sšt = (1 +št) + (a1 +št) +... + (1 +št) + (a1 +št)
Gaussova ideja je bila dodati enako oddaljene izraze zaporedja. Tako je dobil polovico izraza PAN v rezultatih 101. Naredili smo tako, da je bil vsak člen začetnega BP dodan svoji enako oddaljeni vrednosti, tako da je bil ohranjen število izrazov. Ker je imel PA torej n izrazov, lahko v zgornjem izrazu vsoto spremenimo z množenjem in rešimo enačba najti:
2Sšt = (1 +št) + (a1 +št) +... + (1 +št) + (a1 +št)
2Sšt = n (a1 +št)
sšt = ob1 +št)
2
To je natančno formula, ki se uporablja za dodajanje št prvi pogoji PA.
Primer
Glede na P.A (1, 2, 3, 4) določite vsoto njegovih prvih 100 izrazov.
Rešitev:
Poiskati bomo morali izraz a100. Za to bomo uporabili formula splošnega izraza PA:
Thešt =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Zdaj formula za seštevanje prvih n izrazov:
sšt = ob1 +št)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
