A številčno zaporedje je niz števil, organiziran na urejen način. Številčno zaporedje je mogoče sestaviti po različnih merilih — na primer zaporedje sodih števil ali zaporedje večkratnikov 3. Kadar lahko ta kriterij opišemo s formulo, imenujemo to formulo zakon tvorbe številskega zaporedja.
Preberite tudi: Razlike med številom, številko in števko
Povzetek o številčnem zaporedju
Številčno zaporedje je seznam števil, urejenih po vrstnem redu.
Številčno zaporedje lahko sledi različnim merilom.
Zakon pojavljanja številskega zaporedja je seznam elementov, ki obstajajo v zaporedju.
Zaporedje je mogoče razvrstiti na dva načina. Ena upošteva število elementov, druga pa vedenje.
Kar zadeva število elementov, je zaporedje lahko končno ali neskončno.
Kar zadeva obnašanje, je zaporedje lahko naraščajoče, konstantno, padajoče ali nihajoče.
Kadar je številsko zaporedje mogoče opisati z enačbo, je ta enačba znana kot zakon oblikovanja številskega zaporedja.
Kaj so zaporedja?
Sekvence so nizi elementov, urejenih v določenem vrstnem redu
. V vsakdanjem življenju lahko zaznamo več situacij, ki vključujejo zaporedja:Zaporedje mesecev: Januar, februar, marec, april,..., december.
Zaporedje let prvih 5 svetovnih prvenstev v 21. stoletju: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Obstaja več drugih možnih zaporedij, kot je zaporedje imen ali zaporedje starosti. Kadarkoli obstaja ustaljen red, obstaja zaporedje.
Vsak element zaporedja je znan kot člen zaporedja, tako da je v zaporedju prvi člen, drugi člen in tako naprej. Na splošno zaporedje je lahko predstavljeno z:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(na 1\) → prvi rok.
\(a_2\) → drugi termin.
\(a_3\) → tretji termin.
\(a_n\) → poljuben izraz.
Zakon pojavljanja številskega zaporedja
Imamo lahko zaporedja različnih elementov, kot so meseci, imena, dnevi v tednu, med drugim. Azaporedje je številsko zaporedje, če vključuje številke. Lahko sestavimo zaporedje sodih števil, lihih števil, praštevila, večkratniki 5 itd.
Zaporedje je predstavljeno s pojavnim zakonom. Zakon pojavljanja ni nič drugega kot seznam elementov številčnega zaporedja.
Primeri:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → zaporedje lihih števil od 1 do 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → zaporedje števil, ki so večkratniki števila 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → izmenično zaporedje med 1 in -1.
Kakšna je klasifikacija številčnega zaporedja?
Zaporedja lahko razvrstimo na dva različna načina. Eden od njih je upoštevanje števila elementov, drugi pa upoštevanje obnašanja teh elementov.
→ Razvrstitev številskega zaporedja glede na število elementov
Ko zaporedje razvrščamo glede na število elementov, sta možni dve razvrstitvi: končno zaporedje in neskončno zaporedje.
◦ Končno številsko zaporedje
Zaporedje je končno, če ima omejeno število elementov.
Primeri:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Neskončno zaporedje števil
Zaporedje je neskončno, če ima neomejeno število elementov.
Primeri:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klasifikacija številskega zaporedja glede na obnašanje zaporedja
Drugi način razvrščanja je po vedenju zaporedja. V tem primeru je zaporedje lahko naraščajoče, konstantno, nihajoče ali padajoče.
◦ Naraščajoče številsko zaporedje
Zaporedje se povečuje, če je člen vedno večji od svojega predhodnika.
Primeri:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Konstantno številčno zaporedje
Zaporedje je konstantno, če imajo vsi členi enako vrednost.
Primeri:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Padajoče številsko zaporedje
Zaporedje je padajoče, če so členi v zaporedju vedno manjši od svojih predhodnikov.
Primeri:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Nihajoče številsko zaporedje
Zaporedje je nihajoče, če so izmenično večji členi od predhodnikov in členi, manjši od predhodnikov.
Primeri:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Zakon oblikovanja številskega zaporedja
V nekaterih primerih je mogoče zaporedje opisati s formulo, vendar to ni vedno mogoče. Na primer, zaporedje praštevil je dobro definirano zaporedje, vendar ga ne moremo opisati s formulo. S poznavanjem formule smo lahko sestavili zakon pojavljanja številskega zaporedja.
Primer 1:
Zaporedje sodih števil, večjih od nič.
\(a_n=2n\)
Upoštevajte, da pri zamenjavi n za enega naravno število (1, 2, 3, 4, ...), bomo našli sodo število:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Torej imamo formulo, ki generira člene zaporedja, ki ga tvorijo soda števila, večja od nič:
(2, 4, 6, 8, ...)
Primer 2:
Zaporedje naravnih števil, večjih od 4.
\(a_n=4+n\)
Če izračunamo pogoje zaporedja, imamo:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Zapis zakona pojavnosti:
(5, 6, 7, 8,…)
Glej tudi: Aritmetična progresija — poseben primer številskega zaporedja
Rešene vaje o številskem zaporedju
Vprašanje 1
Številčno zaporedje ima tvorbeni zakon enak \(a_n=n^2+1\). Če analiziramo to zaporedje, lahko trdimo, da bo vrednost 5. člena zaporedja:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Resolucija:
Alternativa E
Če izračunamo vrednost 5. člena zaporedja, imamo:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
2. vprašanje
Analizirajte naslednja številska zaporedja:
JAZ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Lahko rečemo, da so zaporedja I, II in III razvrščena kot:
A) naraščajoče, nihajoče in padajoče.
B) padajoče, naraščajoče in nihajoče.
C) nihajoče, konstantne in naraščajoče.
D) padajoče, nihajoče in konstantne.
E) nihanje, padanje in naraščanje.
Resolucija:
Alternativa C
Če analiziramo zaporedje, lahko trdimo, da:
JAZ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Niha, saj obstajajo termini, ki so večji od svojih predhodnikov, in termini, ki so manjši od svojih predhodnikov.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Je konstantna, saj so členi zaporedja vedno enaki.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Povečuje se, saj so termini vedno večji od predhodnikov.
