Za operacije z množicami so zveza, presečišče in razlika. Rezultat vsake od teh operacij je nov niz. Za označevanje unije med množicami uporabljamo simbol ∪; za križišče simbol ∩; in za razliko, simbol za odštevanje\(-\). V primeru razlike je nujno upoštevati vrstni red, v katerem se bo operacija izvajala. Z drugimi besedami, če sta A in B množici, potem je razlika med A in B drugačna od razlike med B in A.
Preberite tudi: Vennov diagram — geometrijski prikaz množic in operacij med njimi
Povzetek operacij z množicami
Operacije z množicami so: unija, presek in razlika.
Unija (ali srečanje) množic A in B je množica A ∪ B, ki jo tvorijo elementi, ki pripadajo A ali pripadajo B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ ali\ x∈B\}\)
Presek množic A in B je množica A ∩ B, ki jo tvorijo elementi, ki pripadajo A in pripadajo B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ in\ x∈B\}\)
Razlika med množicama A in B je množica A – B, ki jo tvorijo elementi, ki pripadajo A in ne pripadajo B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Če je U (znan kot množica vesolja) množica, ki vsebuje vse množice v danem kontekstu, potem se razlika U – A z A ⊂ U imenuje komplement A. Komplement A tvorijo elementi, ki ne pripadajo A in je predstavljen z
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lekcija o operacijah z množicami
Katere so tri operacije z množicami?
Tri operacije s kompleti so: unija, presečišče in razlika.
Zveza sklopov
Unija (ali srečanje) množic A in B je množica A ∪ B (beri »Unija B«). Ta množica je sestavljena iz vseh elementov, ki pripadajo množici A oz pripada množici B, to je elementov, ki pripadajo vsaj eni izmed množic.
Predstavimo elemente A ∪ B z x, zapišemo
\(A∪B=\{x; x∈A\ ali\ x∈B\}\)
Na spodnji sliki je oranžna regija set A ∪B.
Se zdi težko? Poglejmo dva primera!
Primer 1:
Kakšna je množica A ∪ B, če je A = {7, 8} in B = {12, 15}?
Množico A ∪ B tvorijo elementi, ki pripadajo A oz pripadajo B. Ker elementa 7 in 8 pripadata množici A, morata oba pripadati množici A ∪ B. Nadalje, ker elementa 12 in 15 pripadata množici B, morata oba pripadati množici A ∪ B.
zato
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Upoštevajte, da vsak od elementov A∪B pripada bodisi množici A bodisi množici B.
Primer 2:
Razmislite o nizih A = {2, 5, 9} in B = {1, 9}. Kaj je množica A ∪ B?
Ker elementi 2, 5 in 9 pripadajo množici A, morajo vsi pripadati množici A∪B. Nadalje, ker elementa 1 in 9 pripadata množici B, morajo vsi pripadati množici A ∪ B.
Upoštevajte, da smo 9 omenili dvakrat, saj ta element pripada množici A in množici B. Če rečemo, da je "množica A ∪ B sestavljena iz elementov, ki pripadajo A oz pripadajo B« ne izključuje elementov, ki hkrati pripadajo množicam A in B.
Torej, v tem primeru imamo
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Upoštevajte, da element 9 zapišemo samo enkrat.
Presečišče množic
Presek množic A in B je množica A ∩ B (beri "Presečišče B"). Ta množica je sestavljena iz vseh elementov, ki pripadajo množici A je spadajo v niz B. Z drugimi besedami, A ∩ B je sestavljena iz skupnih elementov množic A in B.
Elemente A ∩ B označimo z x, zapišemo
\(A∩B=\{x; x∈A\ in\ x∈B\}\)
Na spodnji sliki je oranžna regija set A ∩B.
Rešimo dva primera o preseku množic!
Primer 1:
Razmislite o A = {-1, 6, 13} in B = {0, 1, 6, 13}. Kaj je množica A ∩ B?
Množico A ∩ B tvorijo vsi elementi, ki pripadajo množici A je spadajo v niz B. Upoštevajte, da elementa 6 in 13 hkrati pripadata množici A in B.
Všečkaj to,
A ∩ B={6, 13}
Primer 2:
Kaj je presečišče med množicami A = {0,4} in \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Upoštevajte, da med množicama A in B ni skupnega elementa. Tako je presečišče množica brez elementov, torej prazna množica.
zato
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Razlika med sklopi
Razlika med množicama A in B je množica A – B (beri »razlika med A in B«). Ta komplet je sestavljen iz vse elemente, ki pripadajo množici A in ne pripadajo množici B.
Upodabljamo elemente A – B z x, pišemo
\(A-B=\{x; x∈A\ in\ x∉B\}\)
Na spodnji sliki je oranžna regija setA – B.
Pozor: razlika med množicama A in B ni razlika med množicama B in A, ker B – A tvorijo vsi elementi, ki pripadajo množici B in ne pripadajo množici A.
Razmislite o spodnjih dveh primerih o razlikah med nizi.
Primer 1:
Če je A = {-7, 2, 100} in B = {2, 50}, kakšna je potem množica A – B? Kaj pa niz B – A?
KompletA-B je sestavljen iz vseh elementov, ki pripadajo množici A ješt spadajo v niz B. Upoštevajte, da je 2 edini element v množici A, ki pripada tudi množici B. Torej 2 ne pripada množici A – B.
zato
A – B = {-7, 100}
Poleg tega je množica B – A sestavljena iz vseh elementov, ki pripadajo množici B ješt pripada množici A. zato
B – A = {50}
Primer 2:
Kakšna je razlika med množico A = {–4, 0} in množico B = {–3}?
Upoštevajte, da nobeden od elementov A ne pripada B. Tako je razlika A – B sama množica A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Opazovanje: Predpostavimo, da je U (imenovan univerzumski niz) niz, ki vsebuje vse druge nize v dani situaciji. Všečkaj to, razlika U–A, z A⊂U, je množica, imenovana komplementarna A in prikazan kot \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Na naslednji sliki je pravokotnik nabor vesolja, oranžno območje pa nabor vesolja \(B.C\).
Izvedite več: Korak za korakom, kako narediti delitev
Rešene vaje o množičnih operacijah
Vprašanje 1
Razmislite o nizih A = {–12, –5, 3} in B = {–10, 0, 3, 7} ter vsako spodnjo izjavo razvrstite kot T (true) ali F (false).
JAZ. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Pravilen vrstni red, od zgoraj navzdol, je
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) Ž-Ž-Ž
Resolucija
JAZ. False.
Element 0 mora pripadati uniji A in B, saj je 0 ∈ B. Tako je A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Prav.
III. Prav.
Alternativa B.
2. vprašanje
Razmislite o A = {4, 5}, B = {6,7} in C = {7,8}. Potem je množica A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Resolucija
Upoštevajte, da je A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Zato je množica A ∪ B ∩ C presečišče med A ∪ B = {4, 5, 6, 7} in C = {7,8}. kmalu,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Viri
LIMA, Elon L.. Tečaj analize. 7 izd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Srednja matematična šola. 11. izd. Zbirka Učitelj matematike. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
