A ukoreninjenje Je matematična operacija, tako kot seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in potenciranje. Na enak način, kot je odštevanje inverzna operacija seštevanja in deljenje inverzna operacija množenja, je radiacija obratna operacija potenciranja. Tako lahko za realna pozitivna x in y ter celo število n (večje ali enako 2), če je x, dvignjen na n, enak y, rečemo, da je n-ti koren iz y enak x. V matematičnem zapisu: \(x^n=y\desna puščica\sqrt[n]{y}=x\).
Preberite tudi:Potenciranje in radiacija frakcij — kako to storiti?
Povzetek o rootanju
Rootifikacija je matematična operacija.
Radiacija in potenciranje sta inverzni operaciji, to je za pozitivna x in y, \(x^n=y\desna puščica\sqrt[n]{y}=x\).
Izračunavanje n-tega korena števila y pomeni iskanje števila x tako, da je x, dvignjen na n, enak y.
Branje korena je odvisno od indeksa n. Če je n = 2, temu rečemo kvadratni koren, če je n = 3, pa kubični koren.
Pri operacijah z radikali uporabljamo termine z enakim indeksom.
Sevanje ima pomembne lastnosti, ki olajšajo njegovo izračunavanje.
Video lekcija o rootanju
Predstavitev korena
Če želite predstaviti ukoreninjenje, upoštevati moramo tri vključene elemente: radikal, indeks in koren. Simbol \(√\) se imenuje radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
V tem primeru y je radikal, n je indeks in x je koren. Piše "n-ti koren iz y je x". Medtem ko x in y predstavljata pozitivna realna števila, n predstavlja celo število, ki je enako ali večje od 2. Pomembno je omeniti, da je za n = 2 indeks mogoče izpustiti. Torej, npr. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Radiacijo lahko predstavimo z uporabo radikanda z ulomljenim eksponentom. Formalno pravimo, da je n-ti koren od \(y^m\) lahko zapišemo kot y, dvignjen na ulomek \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Oglejte si primere:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Razlike med radiacijo in potenciranjem
Potenciranje in sevanje so inverzne matematične operacije. To pomeni, da če \(x^n=y\), potem \(\sqrt[n]{y}=x\). Se zdi težko? Poglejmo si nekaj primerov.
če \(3^2=9\), potem \(\sqrt[2]{9}=3\).
če \(2^3=8\), potem \(\sqrt[3]{8}=2\).
če \(5^4=625\), potem \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kako brati koren?
Če želite brati koren, moramo upoštevati indeks n. Če je n = 2, imenujemo ga kvadratni koren. Če je n = 3, temu rečemo kubični koren. Za vrednosti n večji, uporabljamo nomenklaturo za redna števila: četrti koren (če je n = 4), peti koren (če je n = 5) itd. Oglejte si nekaj primerov:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratni koren iz 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – kubni koren iz 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – četrti koren iz 625.
Kako izračunati koren števila?
Spodaj bomo videli, kako izračunati koren pozitivnega realnega števila. Za izračun korena števila, moramo upoštevati povezano inverzno operacijo. To pomeni, da če iščemo n-ti koren števila y, moramo iskati tako število x, da je \(x^n=y\).
Odvisno od vrednosti y (to je radikanda) je ta postopek lahko preprost ali naporen. Oglejmo si nekaj primerov, kako izračunati koren števila.
Primer 1:
Kaj je kvadratni koren iz 144?
Resolucija:
Pokličimo številko, ki jo iščemo x, tj. \(\sqrt{144}=x\). Upoštevajte, da to pomeni iskanje števila x tako, da \(x^2=144\). Preizkusimo nekaj možnosti z naravnimi števili:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
zato \(\sqrt{144}=12\).
Primer 2:
Kaj je kubični koren iz 100?
Resolucija:
Pokličimo številko, ki jo iščemo x, tj. \(\sqrt[3]{100}=x\). To pomeni da \(x^3=100\). Preizkusimo nekaj možnosti:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Upoštevajte, da iščemo številko, ki je med 4 in 5, npr \(4^3=64\) je \(5^3=125\). Torej, preizkusimo nekaj možnosti s številkami med 4 in 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Kot \(4,6^3 \) je število blizu in manjše od 100, lahko rečemo, da je 4,6 približek kubnega korena iz 100. zato \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Pomembno:Kadar je koren racionalno število, pravimo, da je koren natančen; sicer pa koren ni natančen. V zgornjem primeru določimo razpon med natančnimi koreni, kjer je najden iskani koren:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Ta strategija je zelo uporabna za izračun približkov korena.
Operacije z radikali
Pri operacijah z radikali uporabljamo termine z enakim indeksom. Glede na to natančno preberite naslednje informacije.
→ Seštevanje in odštevanje med radikali
Za rešitev seštevanja ali odštevanja med radikali moramo izračunati koren vsakega radikala posebej.
Primeri:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Pomembno: V operacijah seštevanja in odštevanja ni mogoče upravljati radikalov. Upoštevajte, da je na primer operacija \(\sqrt4+\sqrt9\) povzroči različno število \(\sqrt{13}\), tudi če \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Množenje in deljenje med radikali
Za rešitev množenja ali deljenja med radikali lahko izračunamo koren vsakega radikala posebej, lahko pa uporabimo tudi radiacijske lastnosti, ki jih bomo videli spodaj.
Primeri:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Kakšne so lastnosti sevanja?
→ Lastnost 1 sevanja
Če je y pozitivno število, potem je n-ti koren iz \(y^n\) je enako y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Glej primer:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Ta lastnost se pogosto uporablja za poenostavitev izrazov z radikali.
→ Lastnost 2 sevanja
n-ti koren produkta \(y⋅z\) je enak produktu n-tih korenin iz y in z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Glej primer:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Pomembno: Ko izračunamo koren velikega števila, je zelo uporaben faktor (razčlenitev) radikala na praštevila in uporabi lastnosti 1 in 2. Glej naslednji primer, v katerem želimo izračunati \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Všečkaj to,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Lastnost 3ukoreninjenja
n-ti koren količnika \(\frac{y}z\), z \(z≠0\), je enak kvocientu n-tih korenin y in z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Glej primer:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Lastnost 4 sevanja
N-ti koren iz y, dvignjen na eksponent m, je enak n-temu korenu iz \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Glej primer:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Glej tudi: Kakšne so lastnosti potenciranja?
Rešene vaje o obsevanju
Vprašanje 1
(FGV) Poenostavljam \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), dobiš:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Resolucija:
Alternativa C.
Upoštevajte, da imamo z uporabo lastnosti sevanja
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Tako lahko izraz izjave prepišemo kot
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Postavitev izraza \(\sqrt3\) dokazov, sklepamo, da
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
2. vprašanje
(Cefet) S katerim številom moramo pomnožiti število 0,75, da bo kvadratni koren dobljenega produkta enak 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Resolucija:
Alternativa A.
Iskano število je x. Tako po izjavi,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
zato
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
