A sferični pokrovček in geometrijsko trdno telo dobimo, ko kroglo prestrežemo z ravnino in jo razdelimo na dve geometrijski telesi. Kroglasta kapica velja za okroglo telo, ker ima tako kot krogla zaobljeno obliko. Za izračun površine in prostornine sferične kapice uporabljamo posebne formule.
Preberite tudi: Deblo stožca — geometrijsko telo, ki ga tvori dno stožca, ko je narejen prerez, vzporeden z osnovo
Povzetek o sferični kapici
- Sferični pokrov je geometrijsko telo, ki ga dobimo, ko kroglo razdelimo z ravnino.
- Glavni elementi sferične kapice so polmer krogle, polmer sferične kapice in višina sferične kapice.
- Kroglasta kapica ni polieder, ampak okroglo telo.
- Če ravnina razdeli kroglo na pol, tvori sferični pokrovček poloblo.
- Polmer sferične kapice je mogoče izračunati z uporabo Pitagorovega izreka, organiziranega na naslednji način:
\(\levo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
- Površino sferične kapice lahko izračunate po formuli:
\(A=2\pi rh\ \)
- Prostornino sferičnega pokrova lahko izračunate po naslednji formuli:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\levo (3r-h\desno)\)
Kaj je sferični pokrovček?
sferični pokrovček je geometrijsko telo, ki ga dobimo, ko prerežemo del žoga običajni stanovanje. Ko kroglo prerežemo z ravnino, to kroglo razdelimo na dva kroglasta pokrova. Ko kroglo razdelimo na pol, je kroglasta kapica znana kot polobla.
Sferični elementi kapice
Pri sferični kapici so glavni elementi polmer krogle, polmer sferične kapice in višina sferične kapice.
- R → polmer krogle.
- r → polmer sferične kapice.
- h → višina kroglaste kapice.
Ali je kroglasta kapica polieder ali okroglo telo?
Vidimo lahko, da je pokrovček geometrijsko telo. Ker ima okroglo osnovo in zaobljeno površino, sferična kapica se šteje za a okroglo telo, ki je znana tudi kot trdna snov revolucije. Omeniti velja, da je polieder ima obraze, ki jih tvori poligoni, kar pa ne velja za kroglasto kapico, ki ima osnovo, ki jo tvori a krog.
Kako izračunati polmer sferične kapice?
Če želite izračunati dolžino polmera sferične kapice, vedeti je treba dolžino višine h sferične kapice in dolžino polmera R krogle, ker, kot lahko vidimo na naslednji sliki, obstaja pitagorejsko razmerje.
Upoštevajte, da imamo a pravokotni trikotnik, trikotnik OO’B, s hipotenuzo, ki meri R, in krakoma, ki merita R – h in r. Uporaba Pitagorov izrek, Moramo:
\(\levo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
primer:
Kolikšen je polmer krogle, ki ima višino 2 cm, če je polmer krogle 5 cm?
Resolucija:
Uporaba pitagorejske relacije:
\(\levo (R-h\desno)^2+r^2=R^2\)
\(\levo (5-2\desno)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Kako izračunati površino sferične kapice?
Za izračun površine sferičnega pokrova, poznati je treba meritev dolžine polmera R krogle in višine h kapice. Formula za izračun površine je:
\(A=2\pi Rh\)
- R → polmer krogle.
- h → višina kroglaste kapice.
primer:
Kroglasto kapo smo dobili iz krogle s polmerom 6 cm in višino 4 cm. Kakšna je torej površina tega sferičnega pokrovčka?
Resolucija:
Če izračunamo površino sferične kapice, imamo:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Kako izračunati prostornino sferične kapice?
Prostornina sferične kapice se lahko izračuna na dva načina. Prva formula je odvisna od polmera R krogle in višine h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\levo (3 R-h\desno)\)
primer:
Kolikšna je prostornina sferične kapice, ki jo dobimo iz krogle s polmerom 8 cm, katere višina sferične kapice je 6 cm?
Resolucija:
Ker poznamo vrednost R in h, bomo uporabili prvo formulo.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\levo (3 R-h\desno)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\levo (3\cdot8-6\desno)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\levo (24-6\desno)\)
\(V=12\pi\levo (18\desno)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Druga formula za prostornino sferične kapice upošteva polmer sferične kapice r in višino kapice h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\levo (3r^2+h^2\desno)\)
primer:
Kolikšna je prostornina kroglaste kapice s polmerom 10 cm in višino 4 cm?
Resolucija:
V tem primeru imamo r = 10 cm in h = 4 cm. Ker poznamo vrednost polmera sferične kapice in višino, bomo uporabili drugo formulo:
\(V=\frac{\pi h}{6}\levo (3r^2+h^2\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\levo (3{\cdot10}^2+4^2\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\levo (3\cdot100+16\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\levo (300+16\desno)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\levo (316\desno)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\približno 210,7\ \pi\ cm³\)
Glej tudi: Piramidno deblo — geometrijska trdnost, ki jo tvori dno piramide, ko se vzame prerez
Rešene vaje na kroglasti kapici
Vprašanje 1
(Enem) Za okrasitev otroške mize bo kuhar uporabil kroglasto melono s premerom 10 cm, ki bo služila kot nosilec za nabodala različnih slaščic. Z melone bo odstranil sferično kapico, kot je prikazano na sliki, in za zagotovitev stabilnosti te podpore, zaradi česar se bo melona težko kotalila po mizi, bo kuhar zarezal tako, da bo polmer r krožnega rezanega odseka vsaj minus 3 cm. Po drugi strani pa bo šef želel imeti čim več prostora v regiji, kjer bodo poslane sladkarije.
Da bi dosegel vse svoje cilje, mora kuhar odrezati vrh melone na višini h v centimetrih, ki je enaka
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Resolucija:
Alternativa C
Vemo, da je premer krogle 10 cm, torej je njen polmer 5 cm, torej je OB = 5 cm.
Če je polmer odseka natanko 3 cm, imamo:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Zato:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
vprašanje 2
Sferična kapica ima površino 144π cm². Če vemo, da ima polmer 9 cm, je višina te sferične kapice:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Resolucija:
Alternativa A
Vemo, da:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Višina je 8 cm.
Avtor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteljica matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm