Izvor i na kvadrat je enak -1

Pri preučevanju kompleksnih števil naletimo na naslednjo enakost: i² = – 1.
Utemeljitev te enakosti je običajno povezana z reševanjem enačb 2. stopnje z negativnimi kvadratnimi koreninami, kar je napaka. Izvor izraza i² = - 1 se pojavlja v definiciji kompleksnih števil, drugo vprašanje, ki prav tako poraja veliko dvoma. Razumimo razlog za takšno enakost in kako nastane.
Najprej podajmo nekaj opredelitev.
1. Urejeni par realnih števil (x, y) se imenuje kompleksno število.
2. Kompleksna števila (x₁y₁) in (x₂y₂) so enaki, če in samo, če je x₁ = x₂ in y₁ = y₂.
3. Seštevanje in množenje kompleksnih števil določa:
(x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + y₂)
(x₁y₁) * (x₂y₂) = (x₁* x₂ - y₁* y₂, x₁* y₂ + y₁* x₂)
Primer 1. Razmislite o z₁ = (3, 4) in z₂ = (2, 5), izračunaj z₁ + z₂ in z₁* z₂.
Rešitev:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Z uporabo tretje definicije je enostavno pokazati, da:
(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)
(x₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁* x

₂, 0)
Te enakosti kažejo, da se kompleksna števila (x, y) v zvezi z operacijami seštevanja in množenja obnašajo kot realna števila. V tem kontekstu lahko ugotovimo naslednje razmerje: (x, 0) = x.
Z uporabo tega razmerja in simbola i za predstavitev kompleksnega števila (0, 1) lahko zapišemo poljubno kompleksno število (x, y), kot sledi:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, kar je običajni klic kompleksne številke.
Tako kompleksno število (3, 4) v normalni obliki postane 3 + 4i.
2. primer. Zapišite naslednja kompleksna števila v običajni obliki.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Zdaj opazimo, da i imenujemo kompleksno število (0, 1). Poglejmo, kaj se bo zgodilo pri izdelavi i2.
Vemo, da je i = (0, 1) in da je i² = i * i. Sledite temu:
jaz² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Z uporabo definicije 3 bomo imeli:
jaz² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Kot smo videli že prej, je vsako kompleksno število oblike (x, 0) = x. Tako
jaz² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Prispeli smo do znamenite enakosti i² = – 1.

Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)

Avtor Marcelo Rigonatto
Specialist za statistiko in matematično modeliranje
Brazilska šolska ekipa

Kompleksna števila - Matematika - Brazilska šola