simetrična matrika je sedež v kateri vsak element \(a_{ij}\) je enak elementu \(a_{ji}\) za vse vrednosti i in j. Posledično je vsaka simetrična matrika enaka svoji transpoziciji. Omeniti velja tudi, da je vsaka simetrična matrika kvadratna in da glavna diagonala deluje kot simetrična os.
Preberite tudi:Matrično seštevanje in odštevanje — kako izračunati?
Teme tega članka
- 1 - Povzetek o simetrični matriki
- 2 - Kaj je simetrična matrika?
- 3 - Kakšne so lastnosti simetrične matrike?
- 4 - Kakšne so razlike med simetrično matriko in antisimetrično matriko?
- 5 - Rešene vaje na simetrični matriki
Povzetek o simetrični matriki
V simetrični matriki, \(a_{ij}=a_{ji}\) za vse i in j.
Vsaka simetrična matrika je kvadratna.
Vsaka simetrična matrika je enaka svoji transpoziciji.
Elementi simetrične matrike so simetrični glede na glavno diagonalo.
Medtem ko je v simetrični matriki \(a_{ij}=a_{ji}\) za vse i in j; v antisimetrični matriki, \(a_{ij}=-a_{ji}\) za vse i in j.
Kaj je simetrična matrika?
Simetrična matrika je
kvadratna matrika, kjer \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) za vsak i in vsak j. To pomeni da \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), in tako naprej, za vse možne vrednosti i in j. Ne pozabite, da možne vrednosti i ustrezajo vrsticam matrike in možne vrednosti j ustrezajo stolpcem matrike.Primeri simetričnih matrik
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Primeri nesimetričnih matrik (razmislite \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Pomembno: Reči, da matrika ni simetrična, pomeni to pokazati \(a_{ij}≠a_{ji}\) za vsaj nekaj i in j (kar lahko vidimo s primerjavo prejšnjih primerov). To se razlikuje od koncepta antisimetrične matrike, ki ga bomo videli kasneje.
Ne nehaj zdaj... Po reklami je več ;)
Kakšne so lastnosti simetrične matrike?
Vsaka simetrična matrika je kvadratna
Upoštevajte, da definicija simetrične matrike temelji na kvadratnih matrikah. Tako ima vsaka simetrična matrika enako število vrstic kot število stolpcev.
Vsaka simetrična matrika je enaka svoji transpoziciji
Če je A matrika, je njena prestavljeno (\(A^T\)) je definirana kot matrika, katere vrstice so stolpci A in stolpci so vrstice A. Torej, če je A simetrična matrika, imamo \(A=A^T\).
V simetrični matriki se elementi "odražajo" glede na glavno diagonalo
Kot \(a_{ij}=a_{ji}\) v simetrični matriki so elementi nad glavno diagonalo "odsevi" elementov spodaj diagonale (ali obratno) glede na diagonalo, tako da glavna diagonala deluje kot os simetrija.
Kakšne so razlike med simetrično matriko in antisimetrično matriko?
Če je A simetrična matrika, potem \(a_{ij}=a_{ji}\) za vse i in vse j, kot smo študirali. V primeru antisimetrične matrike je situacija drugačna. Če je B antisimetrična matrika, potem \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) za vsak i in vsak j.
Upoštevajte, da to povzroči \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), to je glavni diagonalni elementi so nič. Posledica tega je, da je transpozicija antisimetrične matrike enaka njenemu nasprotju, to je, če je B antisimetrična matrika, potem \(B^T=-B\).
Primeri antisimetričnih matrik
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Glej tudi: Identitetna matrika — matrika, v kateri so glavni diagonalni elementi enaki 1, preostali elementi pa 0
Rešene vaje na simetrični matriki
Vprašanje 1
(Unicentro)
če je matrika \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je simetrična, zato je vrednost xy:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resolucija:
Alternativa A
Če je podana matrika simetrična, so elementi v simetričnih položajih enaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Zato moramo:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Zamenjava prvega enačba v drugem pa sklepamo, da \(y=3\), kmalu:
\(x=2\) je \(xy=6\)
vprašanje 2
(UFSM) Vedeti, da je matrika \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) je enak svojemu prenosu, vrednosti \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resolucija:
Alternativa C
Ker je podana matrika enaka transpoziciji, je to simetrična matrika. Tako so elementi v simetričnih položajih enaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)), tj.
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Po prvi enačbi x=-6 oz x=6. S tretjo enačbo dobimo pravilen odgovor: x= -6. Po drugi enačbi y=11.
kmalu:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike
Bi se radi sklicevali na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? poglej:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Simetrična matrika"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Dostopano 18. julija 2023.
Tukaj razumejte definicije in formalizacije matrične strukture. Oglejte si tudi, kako upravljate njegove elemente in različne vrste matrik.
Kliknite tukaj in spoznajte identitetno matriko, nevtralni element množenja matrik. Naučite se tudi sestaviti to posebno vrsto matrice.
Razumeti, kaj je transponirana matrika. Poznavanje lastnosti transponirane matrike. Naučite se najti transponirano matriko dane matrike.
Naučite se, kaj je simetrija in katere vrste so. Glej tudi primere in pomen tega pojava.
Matrika, vrsta matrik, vrstni red matrik, matrika vrstic, matrika stolpcev, ničelna matrika, matrika kvadrat, diagonalna matrika, identitetna matrika, nasprotna matrika, matrika, enaka matrika, enakost matrice.
Zgroziti se
Sleng, prirejen iz angleščine, se uporablja za označevanje nekoga, ki velja za neokusnega, sramotnega, zastarelega in iz mode.
Nevrodiverziteta
Izraz, ki ga je skovala Judy Singer, se uporablja za opis najrazličnejših načinov obnašanja človeškega uma.
PL lažnih novic
Znan tudi kot PL2660, je predlog zakona, ki vzpostavlja mehanizme za regulacijo družbenih omrežij v Braziliji.
