A delež zlati ali božansko razmerje je enakost, povezana z idejami o harmoniji, lepoti in popolnosti. Evklid iz Aleksandrije, grški matematik, ki je živel okoli leta 300 pr. C., je bil eden prvih mislecev, ki je formaliziral ta koncept, ki še danes zanima raziskovalce z različnih področij.
Razlog za to zanimanje je, da je zlati rez mogoče približno opazovati v naravi, tudi v semenih in listih rastlin ter v človeškem telesu. Zato je zlati rez predmet proučevanja različnih strokovnjakov, kot so biologi, arhitekti, umetniki in oblikovalci.
Preberite tudi: Število pi — ena najpomembnejših konstant v matematiki
Povzetek o zlatem rezu
Zlati rez je razmerje za \(a>b>0\) tako da
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Pod temi pogoji razlog TheB se imenuje zlati rez.
Zlati rez je povezan s predstavami o ravnovesju, čistosti in popolnosti.
Grška črka ϕ (beri: fi) predstavlja zlato število, ki je konstanta, dobljena iz zlatega reza.
V Fibonaccijevem zaporedju se količniki med vsakim členom in njegovim predhodnikom približajo zlatemu številu.
Zlati pravokotnik je pravokotnik, katerega stranice so v zlatem rezu.
Kaj je zlati rez?
Razmislite o odseku črte, razdeljenem na dva dela: večji je dolžine The in najmanjši B. zavedaj se tega a+b je merilo celotnega segmenta.
zlati rez je enakost med razlogi\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) je \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), tj
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
V tem kontekstu pravimo, da The je B so v zlatem rezu.
Toda za kakšne vrednosti The je B ali imamo zlati rez? To bomo videli naprej.
Kako izračunati zlato številko?
Razlog \(\frac{a}b\)(ali, podobno, razlog \(\frac{a+b}a\)) povzroči konstanto, imenovano zlato število in ga predstavlja grška črka ϕ. Tako je običajno pisati
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Za izračun zlate številke upoštevajmo zlati rez za b = 1. Tako lahko zlahka ugotovimo vrednost The in dobimo ϕ iz enakosti \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Upoštevajte, da lahko z uporabo lastnosti navzkrižnega množenja zlati rez zapišemo na naslednji način:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Če zamenjamo b = 1, imamo
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Uporaba Bhaskarove formule za to kvadratno enačbo sklepamo, da je pozitivna rešitev The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Kot The je mera segmenta, bomo zanemarili negativno rešitev.
Torej, kako \(\frac{a}b=ϕ\), Natančna vrednost zlate številke je:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Če izračunamo količnik, dobimo Približna vrednost zlate številke:
\(ϕ≈1,618033989\)
Glej tudi: Kako rešiti matematične operacije z ulomki?
Zlati rez in Fibonaccijevo zaporedje
A Fibonaccijevo zaporedje je seznam števil kjer je vsak člen, začenši s tretjim, enak vsoti obeh predhodnikov. Poglejmo prvih deset členov tega zaporedja:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Kot izračunamo količnik med vsakim členom in njegovim predhodnikom v Fibonaccijevem zaporedju, bližamo se zlati številki ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Zlati rez in zlati pravokotnik
ena pravokotnik kjer je najdaljša stranica The in manjša stran B so v zlatem rezu imenuje se zlati pravokotnik. Primer zlatega pravokotnika je pravokotnik, katerega stranice merijo 1 cm in \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Izvedite več: Kaj so premosorazmerne količine?
Uporaba zlatega reza
Upoštevajte, da smo do zdaj preučevali zlati rez le v abstraktnih matematičnih kontekstih. Nato si bomo ogledali nekaj uporabnih primerov, vendar je potrebna previdnost: v nobenem od teh primerov zlati rez ni natančno predstavljen. Kar obstaja, so analize različnih kontekstov, v katerih zlata številka se pojavi takopribližno.
Zlati rez v arhitekturi
Nekatere študije trdijo, da so ocene števila zlata opazne v določenih razmerjih dimenzij Keopsove piramide v Egiptu in stavbe sedeža ZN v New Yorku.
Zlati rez v človeškem telesu
Mere človeškega telesa se razlikujejo od osebe do osebe in popolnega tipa postave ni. Vendar pa so vsaj od stare Grčije potekale razprave o matematično idealnem telesu (in v resnici popolnoma nedosegljivem), z meritvami, povezanimi z zlatim rezom. V tem teoretičnem kontekstu je npr. razmerje med višino človeka in razdaljo med njegovim popkom in tlemi bi bilo zlato število.
zlati rez v umetnosti
Obstajajo raziskave o delih "Vitruvijev človek" in "Mona Lisa" italijanskega Leonarda da Vincija, ki kažejo na uporaba zlatih pravokotnikov.
Zlati rez v naravi
Obstajajo študije, ki kažejo na a odnos med zlatim rezom in načinom porazdelitve listov nekaterih rastlin na steblu. Ta razporeditev listov se imenuje filotaksija.
Zlati rez v oblikovanju
Zlati rez se proučuje in uporablja tudi na področju oblikovanja kot orodje za sestavo projekta.
Rešene vaje o zlatem rezu
Vprašanje 1
(Enem) Odsek črte je razdeljen na dva dela v zlatem rezu, ko je celota do enega od delov v enakem razmerju, kot je ta del do drugega. Ta konstanta sorazmernosti je običajno predstavljena z grško črko ϕ, njena vrednost pa je podana s pozitivno rešitvijo enačbe ϕ2 = ϕ+1.
Tako kot moč \(ϕ^2\), lahko višje potence ϕ izrazimo v obliki \(aϕ+b\), kjer sta a in b pozitivna cela števila, kot je prikazano v tabeli.
moč \(ϕ^7\), zapisano v obliki aϕ+b (a in b sta pozitivni celi števili), je
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Resolucija
Kot \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Moramo
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Uporaba distribucije,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Kot \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativa.
vprašanje 2
Vsako spodnjo trditev o zlati številki ocenite s T (Drži) ali F (Ne drži).
jaz. Zlato število ϕ je iracionalno.
II. Količniki med vsakim členom in njegovim predhodnikom v Fibonaccijevem zaporedju se približajo vrednosti ϕ.
III. 1,618 je zaokroževanje zlatega števila ϕ na tri decimalna mesta.
Pravilno zaporedje, od zgoraj navzdol, je
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) Ž-Ž-Ž
e) F-V-V
Resolucija
jaz. Prav.
II. Prav.
III. Prav.
Alternativa A.
Viri
FRANCISCO, S. V. od L. Med fascinacijo in resničnostjo zlatega reza. Disertacija (strokovni magisterij iz matematike v nacionalni mreži) – Inštitut za bioznanosti, literaturo in natančne znanosti, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Na voljo v: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PRODAJA, J. od S. Zlati rez prisoten v naravi. Zaključek tečaja (diploma iz matematike), Zvezni inštitut za izobraževanje, znanost in tehnologijo Piauí. Piauí, 2022. Na voljo v http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
