O apotema mnogokotnika je segment s končnima točkama v središču mnogokotnika in na sredini ene od stranic. Ta segment tvori kot 90° z ustrezno stranjo mnogokotnika.
Za izračun mere apoteme je treba upoštevati značilnosti zadevnega poligona. Glede na geometrijsko obliko je mogoče sestaviti formulo za pridobitev te meritve. Pomembno opažanje je, da je mera apoteme pravilnega mnogokotnika enaka meri polmera oboda, včrtanega v mnogokotnik.
Preberite tudi: Kaj je simetrala?
Povzetek o apotemi
Apotem je odsek mnogokotnika, ki povezuje središče (točka srečanja pravokotnih simetral) z razpoloviščem ene od stranic.
Kot med apotemo in pripadajočo stranico mnogokotnika meri 90°.
Mera apoteme pravilnega mnogokotnika je enaka meri polmera kroga, včrtanega v mnogokotnik.
Apotem OM enakostraničnega trikotnika stranice l je podana s formulo
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem OM kvadrata s stranico l je podana s formulo
\(OM = \frac{l}2\)
Apotem OM pravilnega šesterokotnika na eni strani l je podana s formulo
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotem piramide je segment, ki povezuje oglišče s središčem enega od robov baze, njegovo mero pa lahko dobimo s Pitagorovim izrekom.
Primeri apotem
Da bi našli apotem mnogokotnika, moramo sestaviti odsek, ki povezuje središče mnogokotnika s središčem ene od stranic. Ne pozabite, da je središče mnogokotnika tam, kjer se stikata simetrali.
V teh primerih je bil apotem obravnavan v ravninskih poligonih. Vendar pa obstaja vesoljski objekt, ki ima drugačno vrsto apoteme: piramida.
V piramidi obstajata dve vrsti apoteme: apotem osnove, ki je apotem mnogokotnika, ki tvori osnovo piramide, in apotem piramide, ki je segment, ki povezuje oglišče s središčem osnovnega roba (to je višina stranske ploskve osnove). piramida).
V spodnjem primeru kvadratne osnove je segment OM apotem osnove in segment VM je apotem piramide, pri čemer je M središče BC.
Kakšne so formule za apotem?
Ob poznavanju značilnosti mnogokotnika, še posebej pravilnih mnogokotnikov, lahko razvijemo formule za izračun mere apoteme. Poglejmo, katere so te formule za glavne pravilne mnogokotnike.
Formula apoteme enakostraničnega trikotnika
Pri primer enakostraničnega trikotnika, sta višina in mediana glede na dano stran enaki. To pomeni, da središče mnogokotnika sovpada z barycenter trikotnika. Tako točka O deli višino AM na naslednji način:
\(AO = \frac{2}3 AM\) je \(OM=\frac{1}3 AM\)
Ne pozabite, da je ukrep višina enakostraničnega trikotnika l podaja:
\(Višina\ trikotnika\ enakostraničnega=\frac{l\sqrt3}2\)
Ker je torej AM višina enakostraničnega trikotnika ABC in je odsek OM apotem trikotnika, lahko izdelamo naslednji izraz za mero OM, ob upoštevanju, da stranica trikotnika meri l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem kvadratne formule
V primeru kvadrata, mera apoteme ustreza polovici dolžine stranice. Torej, če je O središče kvadrata, je M središče ene od stranic in l je dolžina stranice kvadrata, zato je formula za apotem OM
\(OM=\frac{l}2\)
Formula pravilnega šesterokotnika apoteme
V pravilnem šesterokotniku apotem ustreza višini enakostraničnega trikotnika z oglišči na obeh koncih ene od stranic in v središču mnogokotnika. V spodnjem primeru je apotem OM pravilnega šesterokotnika višina enakostraničnega trikotnika OCD, kjer je M razpolovišče CD.
Kot smo že omenili, je višina enakostraničnega trikotnika znana. Torej, če meri stranica pravilnega šesterokotnika l, potem je formula za apotem OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula apoteme piramide
Mero apoteme piramide lahko dobite z Pomoč pri Pitagorovem izreku. V spodnjem primeru je v kvadratni piramidi trikotnik VOM pravokotnik s krakoma VO in OM ter hipotenuzo VM. Upoštevajte, da je VO višina piramide, OM apotem osnove in VM apotem piramide.
Tako moramo za določitev mere apoteme piramide uporabiti Pitagorov izrek:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Previdno! VM je višina enakokrakega trikotnika, ne enakostraničnega trikotnika. Torej v tem primeru ne moremo uporabiti formule za višino enakostraničnega trikotnika.
Kako se izračuna apotem?
Za izračun apotem mnogokotnika ali piramide lahko uporabimo sestavljene formule ali pa apotem povežemo s polmerom včrtanega kroga.
Primer 1: Predpostavimo, da je v enakostranični trikotnik vpisan krog s polmerom 3 cm. Kakšna je mera apoteme tega trikotnika?
Ker ima apotem mnogokotnika enako mer kot polmer včrtanega kroga, meri apotem trikotnika 3 cm.
Primer 2: Kakšna je mera apotem pravilnega šestkotnika s stranico 4 cm?
Uporaba formule za apotem pravilnega šesterokotnika z \(l=4\) cm, moramo
\(Meritev\ apotema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Preberite tudi: Vse o pomembnih točkah trikotnika
Rešene vaje na apotemo
Vprašanje 1
Če ima piramida, visoka 4 cm, osnovni apotem 3 cm, potem je meritev apoteme piramide
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Resolucija:
V piramidi lahko sestavimo pravokotni trikotnik, v katerem je en krak apotem osnove, drugi krak višina piramide in hipotenuza apotem piramide. Tako z uporabo Pitagorovega izreka na hipotenuzo mere x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativa A.
vprašanje 2
Če je apotem kvadrata y cm, potem je stranica kvadrata enaka
The) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Resolucija
Apotem kvadrata je polovica dolžine stranice kvadrata. Če torej apotem meri y cm, meri kvadrat 2y cm.
Alternativa D.
Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike
