Standardni odklon: kaj je, kako ga izračunati, primeri

O standardni odklon je merilo razpršenosti, kot sta varianca in koeficient variacije. Pri določanju standardnega odklona lahko določimo razpon okoli aritmetične sredine (deljenje med vsoto števil na seznamu in številom dodanih števil), kjer je skoncentrirana večina podatkov. Večja kot je vrednost standardnega odklona, ​​večja je variabilnost podatkov, torej večje je odstopanje od aritmetične sredine.

Preberite tudi: Način, povprečje in mediana — glavne mere osrednjih tendenc

Povzetek standardnega odklona

• Standardni odklon je merilo variabilnosti.
• Standardni odklon je mala grška črka sigma (σ) ali črka s.
• Standardni odklon se uporablja za preverjanje variabilnosti podatkov okoli srednje vrednosti.
• Standardni odklon določa razpon \(\levo[\mu-\sigma,\mu+\sigma\desno]\), kjer se nahaja večina podatkov.
• Za izračun standardnega odklona moramo najti kvadratni koren variance:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\levo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)

Kaj je standardni odklon?

Standardni odklon je a mera razpršenosti, sprejeta v statistiki

. Njegova uporaba je povezana z razlaga variance, ki je tudi merilo razpršenosti.

V praksi standardna deviacija določa interval, osredotočen na aritmetično sredino, v katerem je skoncentrirana večina podatkov. Večja kot je torej vrednost standardnega odklona, ​​večja je nepravilnost podatkov (več informacij heterogen), manjša kot je vrednost standardnega odklona, ​​manjša je nepravilnost podatkov (več informacij homogen).

Kako izračunati standardno odstopanje?

Če želite izračunati standardni odklon nabora podatkov, najti moramo kvadratni koren variance. Torej, formula za izračun standardnega odklona je

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\levo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\lpike, x_N\) → vključeni podatki.
• μ → aritmetična sredina podatkov.
• N → količina podatkov.
• \( \sum_{i=1}^{N}\levo (x_i-\mu\desno)^2\ =\ \levo (x_1-\mu\desno)^2+\levo (x_2-\mu\desno) )^2+\levo (x_3-\mu\desno)^2+...+\levo (x_N-\mu\desno)^2 \)

Zadnja postavka, ki se nanaša na števec radikanda, označuje vsoto kvadratov razlike med vsako podatkovno točko in aritmetično sredino. Prosimo, upoštevajte, da merska enota za standardni odklon je enaka merska enota kot podatki x₁,x₂,x₃,…,x_št.

Čeprav je pisanje te formule nekoliko zapleteno, je njena uporaba preprostejša in bolj neposredna. Spodaj je primer uporabe tega izraza za izračun standardnega odklona.

• primer:

Dva tedna so bile v mestu zabeležene naslednje temperature:

Teden/Dan	nedelja	drugič	Tretjič	Četrtič	Petič	Petek	sobota
1. teden	29°C	30°C	31°C	31,5°C	28°C	28,5°C	29°C
2. teden	28,5°C	27°C	28°C	29°C	30°C	28°C	29°C

V katerem od dveh tednov je temperatura v tem mestu ostala bolj ustaljena?

Resolucija:

Za analizo temperaturne pravilnosti moramo primerjati standardne odklone temperatur, zabeleženih v 1. in 2. tednu.

• Najprej poglejmo standardni odklon za 1. teden:

Upoštevajte, da je povprečje μ₁ je št₁ so

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\približno 29,57\)

\(N_1=7 \) (7 dni v tednu)

Prav tako moramo izračunati kvadrat razlike med vsako temperaturo in povprečno temperaturo.

\(\levo (29-29,57\desno)^2=0,3249\)

\(\levo (30-29,57\desno)^2=0,1849\)

\(\levo (31-29,57\desno)^2=2,0449\)

\(\levo (31,5-29,57\desno)^2=3,7249\)

\(\levo (28-29,57\desno)^2=2,4649\)

\(\levo (28,5-29,57\desno)^2=1,1449\)

\(\levo (29-29,57\desno)^2=0,3249\)

Če seštejemo rezultate, dobimo, da je števec radikanda v formuli standardnega odklona

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

Standardni odklon 1. tedna je torej

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\levo (x_i-\mu_1\desno)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \približno 1,208\ °C\)

Opomba: Ta rezultat pomeni, da je večina temperatur 1. tedna v intervalu [28,36 °C, 30,77 °C], to je interval \(\levo[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\desno]\).

• Zdaj pa poglejmo standardni odklon 2. tedna:

Po istem sklepanju imamo

\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)

\(N_2=7\)

\(\levo (28,5-28,5\desno)^2=0\)

\(\levo (27-28,5\desno)^2=2,25\)

\(\levo (28-28,5\desno)^2=0,25\)

\(\levo (29-28,5\desno)^2=0,25\)

\(\levo (30-28,5\desno)^2=2,25\)

\(\levo (28-28,5\desno)^2=0,25\)

\(\levo (29-28,5\desno)^2=0,25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

Standardni odklon 2. tedna je torej

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\levo (x_i-\mu_1\desno)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \približno 0,89\ °C\)

Ta rezultat pomeni, da je večina temperatur 2. tedna v območju \(\levo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\desno]\), torej obseg \(\levo[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\desno]\).

zavedaj se tega \(\sigma_2, kar pomeni, da je standardna deviacija 2. tedna manjša od standardne deviacije 1. tedna. Zato so bile v 2. tednu bolj redne temperature kot v 1. tednu.

Katere so vrste standardnega odklona?

Vrste standardnega odklona so povezane z vrsto organizacije podatkov. V prejšnjem primeru smo delali s standardnim odklonom nezdruženih podatkov. Če želite izračunati standardni odklon nabora sicer organiziranih podatkov (na primer združenih podatkov), bi morali prilagoditi formulo.

Kakšne so razlike med standardnim odklonom in varianco?

standardni odklon je kvadratni koren variance:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\levo (x_i-\mu\desno)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\levo (x_i-\mu\desno)^2}{N}\)

Pri uporabi variance za določanje variabilnosti nabora podatkov ima rezultat kvadrat podatkovne enote, kar oteži analizo. Tako je standardni odklon, ki ima isto enoto kot podatki, možno orodje za interpretacijo rezultata variance.

Izvedite več:Absolutna frekvenca — kolikokrat se je isti odziv pojavil med zbiranjem podatkov

Rešene vaje na standardni odklon

Vprašanje 1

(FGV) V razredu 10 učencev so bile ocene učencev pri ocenjevanju:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

Standardni odklon tega seznama je približno

A) 0,8.

B) 0,9.

C) 1.1.

D) 1.3.

E) 1,5.

Resolucija:

Alternativa C.

Glede na izjavo, N = 10. Povprečje tega seznama je

\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

Poleg tega

\(\levo (6-8\desno)^2=4\)

\(\levo (7-8\desno)^2=1\)

\(\levo (8-8\desno)^2=0\)

\(\levo (9-8\desno)^2=1\)

\(\levo (10-8\desno)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

Standardni odklon tega seznama je torej

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\levo (x_i-8\desno)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\približno 1,1\)

vprašanje 2

Razmislite o spodnjih trditvah in vsako ocenite s T (Drži) ali F (Ne drži).

jaz. Kvadratni koren variance je standardni odklon.

II. Standardni odklon ni povezan z aritmetično sredino.

III. Varianca in standardni odklon sta primera mere disperzije.

Pravilen vrstni red, od zgoraj navzdol, je

A) V-V-F

B) F-F-V

C) F-V-F

D) Ž-Ž-Ž

E) V-F-V

Resolucija:

E alternativa.

jaz. Kvadratni koren variance je standardni odklon. (prav)

II. Standardni odklon ni povezan z aritmetično sredino. (napačen)
Standardni odklon označuje interval okoli aritmetične sredine, v katerega sodi večina podatkov.

III. Varianca in standardni odklon sta primera mere disperzije. (prav)

Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm