THE Notranji simetralni izrek je bil razvit posebej za trikotniki in kaže, da ko zasledimo notranjo simetralo kota trikotnika, stičišče simetrale s stranico, ki ji nasproti, razdeli to stran na odseki črt sorazmerna s sosednjimi stranicami tega kota. Z uporabo izreka o notranji simetrali mogoče je določiti vrednost stranice ali segmentov trikotnika z uporabo razmerja med njimi.
Glej tudi: Mediana, simetrala kota in višina trikotnika - kakšna je razlika?
Povzetek o notranjem simetralnem izreku:
Simetrala je a žarek ki deli kot na dva skladna kota.
Notranji simetralni izrek je specifičen za trikotnike.
Ta izrek dokazuje, da simetrala deli nasprotno stran na proporcionalni segmenti na straneh, ki mejijo na kota.
Video lekcija o izreku o notranji simetrali
Kaj je simetralni izrek?
Preden razumemo, kaj pravi izrek o notranji simetrali, je pomembno vedeti, kaj je simetrala kota. To je žarek, ki deli kot na dva skladna dela., torej dva dela, ki imata enako mero.
Če razumemo, kaj je simetrala, opazimo, da obstaja pri notranjem kotu trikotnika. Ko začrtamo simetralo kota trikotnika, bo nasprotno stran razdelila na dva segmenta. Kar zadeva notranjo simetralo,
njegov izrek pravi, da sta dva segmenta, ki sta razdeljena z njim, sorazmerna s sosednjima stranicama kota.
Upoštevajte, da simetrala deli stransko AC na dva segmenta, AD in DC. To kaže simetralni izrek:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Več o tem: Pitagorov izrek - še en izrek, razvit za trikotnike
Dokaz izreka o notranji simetrali
V spodnjem trikotniku ABC bomo razmejili odsek BD, ki je simetrala tega trikotnika. Nadalje bomo izsledili podaljšanje njegove strani CB in odseka AE, vzporedno z BD:
Kot AEB je skladen s kotom DBC, ker je CE a naravnost prečno na vzporedna odseka AE in BD.
uporaba Thalesov izrek, smo ugotovili, da:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Zdaj pa mi treba je še pokazati, da je BE = AB.
Ker je x mera kota ABD in DBC, z analizo kota ABE dobimo:
ABE = 180 - 2x
Če je y mera kota EAB, imamo naslednjo situacijo:
Vemo, da je vsota notranjih kotov trikotnika ABE je 180°, zato lahko izračunamo:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Če imata kot x in kot y enako mero, je trikotnik ABE enakokraki. Zato je stranica AB = AE.
Ker je vsota notranjih kotov trikotnika vedno enaka 180°, imamo v trikotniku ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ker je y = x, je trikotnik ACE enakokrak. Zato sta odseka AE in AC skladna. Zamenjava AE za AC in razlog, je dokazano, da:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Primer:
Poiščite vrednost x v naslednjem trikotniku:
Če analiziramo trikotnik, dobimo naslednje razmerje:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Navzkrižno množenje:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Preberite tudi: Pomembne točke trikotnika - kaj so?
Rešene vaje o izreku o notranji simetrali
Vprašanje 1
Če pogledamo spodnji trikotnik, lahko rečemo, da je vrednost x:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Resolucija:
Alternativa D
Z uporabo notranjega simetralnega izreka dobimo naslednji izračun:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Navzkrižno množenje:
\(27x=18\ \levo (30-x\desno)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
vprašanje 2
Analizirajte naslednji trikotnik, saj veste, da so vaše meritve podane v centimetrih.
Obseg trikotnika ABC je enak:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Resolucija:
Alternativa C
Z uporabo simetralnega izreka bomo najprej našli vrednost x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \levo (4x-9\desno)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Tako neznane strani merijo:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Spomnimo se, da je merilna dolžina uporabljen je bil cm, the obseg tega trikotnika je enak:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Avtor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
vir: brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
