Faktorizacija oz polinomi je sestavljen iz metod, razvitih za prepis polinoma kot produkt med polinomi. Zapiši polinom kot množenje med dvema ali več dejavniki pomaga pri poenostavitvi algebraičnih izrazov in razumevanju polinoma.
Obstajajo različni primeri faktoringa in za vsakega od njih obstajajo posebne tehnike.. Obstoječi primeri so: faktoring s skupnim faktorjem v dokazih, faktoring z združevanjem, razlika med dvema kvadratoma, popolni kvadratni trinom, vsota dveh kock in razlika dveh kock.
Preberi več:Kaj je polinom?
Povzetek faktoring polinomov
Faktorizacija polinomov so tehnike, ki se uporabljajo za predstavitev polinoma kot produkta med polinomi.
To faktorizacijo uporabljamo za poenostavitev algebraični izrazi.
-
Primeri faktoringa so:
Faktoring po skupnem faktorju v dokazih;
Faktoriranje z združevanjem;
popolni kvadratni trinom;
razlika dveh kvadratov;
vsota dveh kock;
Razlika dveh kock.
Primeri polinomskega faktoringa
Za faktoriranje polinoma, treba je analizirati, v katerem od primerov faktoringa situacija ustreza
, ki je: faktoring s skupnim faktorjem v dokazih, faktoring z združevanjem, razlika med dvema kvadratoma, popolni kvadratni trinom, vsota dveh kock in razlika dveh kock. Poglejmo, kako izvesti faktorizacijo v vsakem od njih.Pogost dejavnik v dokazih
To metodo faktoriranja uporabljamo, kadar obstaja faktor, ki je skupen vsem členom polinoma. Ta skupni dejavnik bo poudarjen kot en dejavnik, drugi dejavnik pa kot rezultat divizije izrazov s tem skupnim faktorjem, bodo postavljeni v oklepaje.
Primer 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Če analiziramo vsak člen tega polinoma, je mogoče videti, da se x ponovi v vseh izrazih. Prav tako so vsi koeficienti (20, 12 in 8) večkratniki 4, zato je faktor, ki je skupen vsem izrazom, 4x.
Če vsak izraz delimo s skupnim faktorjem, imamo:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Zdaj bomo napisali faktorizacijo, tako da bo skupni faktor kot dokaz in vsota rezultatov, najdenih v oklepajih:
4x (5y + 3x + 2y²)
2. primer:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Če analiziramo dobesedni del vsakega izraza, je mogoče videti, da se a²b ponavlja v vseh. Upoštevajte, da ni števila, ki bi hkrati delilo 2, 3 in – 4. Torej bo skupni faktor samo a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Tako bo faktorizacija tega polinoma:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Glej tudi: Seštevanje, odštevanje in množenje polinomov – razumejte, kako se izvajajo
združevanje v skupine
Ta metoda je uporablja se, kadar ni skupnega faktorja za vse izraze polinoma. V tem primeru identificiramo izraze, ki jih lahko združimo v skupine, ki imajo skupni dejavnik in jih poudarimo.
Primer:
Faktorite naslednji polinom:
ax + 4b + bx + 4a
Združili bomo izraze, ki imajo a in b kot skupni faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Če damo a in b v dokaz v smislu dva po dva, imamo:
a(x+4)+b(x+4)
Upoštevajte, da so v oklepajih faktorji enaki, zato lahko ta polinom prepišemo kot:
(a + b) (x + 4)
popolni kvadratni trinom
Trinomi so polinomi s 3 členi. Polinom je znan kot trinom popolnega kvadrata, ko je vsota na kvadrat ali razlika na kvadrat rezultat, to je:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Pomembno: Ne bo vsakič, ko obstajajo trije izrazi, ta polinom popoln kvadratni trinom. Zato je treba pred izvedbo faktorizacije preveriti, ali trinom v tem primeru ustreza.
Primer:
Faktor, če je mogoče, polinom
x² + 10x + 25
Po analizi tega trinoma bomo izluščili kvadratni koren prvi in zadnji mandat:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Pomembno je preveriti, ali je osrednji člen, to je 10x, enak \(2\cdot\ x\cdot5\). Upoštevajte, da je res enako. Torej je to popoln kvadratni trinom, ki ga je mogoče faktorizirati z:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
razlika dveh kvadratov
Ko imamo razliko dveh kvadratov, ta polinom lahko faktoriziramo tako, da ga prepišemo kot produkt vsote in razlike.
Primer:
Faktor polinoma:
4x² – 36y²
Najprej bomo izračunali kvadratni koren vsakega od njegovih členov:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Zdaj bomo ta polinom prepisali kot produkt vsote in razlike najdenih korenov:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Preberite tudi: Algebraični izračun, ki vključuje monome - naučite se, kako potekajo te štiri operacije
vsota dveh kock
Vsota dveh kock, to je a³ + b³, lahko faktoriziramo kot:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Primer:
Faktor polinoma:
x³ + 8
Vemo, da je 8 = 2³, torej:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Razlika dveh kock
Razlika dveh kock, to je a³ – b³, ni drugače kot vsota dveh kock, se lahko faktorizira kot:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Primer:
Izračunajte polinom
8x³ - 27
Vemo, da:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Torej moramo:
\(8x^3-27=\levo (2x-3\desno)\)
\(8x^3-27=\levo (2x-3\desno)\levo (4x^2+6x+9\desno)\)
Rešene vaje o faktorjenju polinomov
Vprašanje 1
Uporaba polinomske faktorizacije za poenostavitev algebraičnega izraza \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), bomo našli:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Resolucija:
Alternativa D
Če pogledamo števec, vidimo, da je x² + 4x + 4 primer popolnega kvadratnega trinoma in ga je mogoče prepisati kot:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Števec x² – 4 je razlika dveh kvadratov in ga je mogoče prepisati kot:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
torej:
\(\frac{\levo (x+2\desno)^2}{\levo (x+2\desno)\levo (x-2\desno)}\)
Upoštevajte, da se izraz x + 2 pojavlja tako v števcu kot v imenovalcu, zato je njegova poenostavitev podana z:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
vprašanje 2
(Inštitut Unifil) Glede na to, da sta dve števili, x in y, takšni, da sta x + y = 9 in x² – y² = 27, je vrednost x enaka:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Resolucija:
Alternativa C
Upoštevajte, da je x² – y² razlika med dvema kvadratoma in se lahko faktorizira kot produkt vsote in razlike:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Vemo, da je x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Nato lahko nastavimo a sistem enačb:
Dodajanje dveh vrstic:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Avtor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
vir: brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm