Vektor je predstavitev, ki določa velikost, smer in smer vektorske količine. Vektorji so ravni segmenti, usmerjeni s puščico na enem koncu.
Vektorje poimenujemo s črko in puščico.
Vektorji označujejo vektorske količine, ki so količine, ki potrebujejo orientacijo, torej smer in smer. Nekateri primeri so: sila, hitrost, pospešek in premik. Številčna vrednost ni dovolj, treba je opisati, kje te količine delujejo.
modul vektorja
Vektorjev modul ali intenzivnost je njegova številčna vrednost, ki ji sledi merska enota velikosti, ki jo predstavlja, na primer:
Označimo modul med palicami, ki drži puščico ali, samo črko, brez črt in brez puščice.
Dolžina vektorja je sorazmerna z modulom. Večji vektor predstavlja večji modul.
vektorski modul je 4 enote, medtem ko je vektor
je 2 enoti.
Smer vektorja
Smer vektorja je naklon podporne črte, na kateri je določen. Za vsak vektor je samo ena smer.
občutek vektorja
Smer vektorja je prikazana s puščico. Ista smer lahko vsebuje dve smeri, na primer gor ali dol in levo ali desno.
Če sprejmemo smer kot pozitivno, je nasprotna smer, negativna, predstavljena z znakom minus pred vektorskim simbolom.
Nastali vektor
Nastali vektor je rezultat vektorskih operacij in je enakovreden nizu vektorjev. Priročno je poznati vektor, ki predstavlja učinek, ki ga proizvede več kot en vektor.
Na primer, telo je lahko podvrženo nizu sil in želimo vedeti, kakšen rezultat bodo vse skupaj ustvarile na tem telesu. Vsaka sila je predstavljena z vektorjem, vendar je rezultat lahko predstavljen samo z enim vektorjem: rezultantnim vektorjem.
Nastali vektor, , vodoravne smeri in smeri v desno, je rezultat seštevanja in odštevanja vektorjev.
,
,
in
. Nastali vektor kaže težnjo, da se telo premika v tej orientaciji.
Vektorji z navpično smerjo imajo enako velikost, torej enak modul. Ker imata nasprotne pomene, se medsebojno izničita. To kaže, da ne bo premikanja zaboja v navpični smeri.
Pri analizi vektorjev in
, ki imata isto in nasprotni smeri, ugotovimo, da del sile "ostane" v desno, kot vektor
je večji od
, to je modul
večji je.
Za določitev nastalega vektorja izvedemo vektorske operacije seštevanja in odštevanja.
Seštevanje in odštevanje vektorjev z isto smerjo
Z enaka čutila, dodamo module in ohranimo smer in smer.
Primer:
Grafično vektorje postavimo v zaporedje, ne da bi spremenili njihove module. Začetek enega mora sovpadati s koncem drugega.
Komutativna lastnost seštevanja je veljavna, saj vrstni red ne spremeni rezultata.
Z nasprotna čutila, odštejemo module in ohranimo smer. Smer nastalega vektorja je smer vektorja z največjim modulom.
Primer:
vektor je preostali del
, po umiku
.
Odštevanje enega vektorja je enakovredno seštevanju z nasprotnim od drugega.
Seštevanje in odštevanje pravokotnih vektorjev
Če želimo sešteti dva vektorja s pravokotnimi smermi, vektorja premaknemo, ne da bi spremenili njihov modul, tako da začetek enega sovpada s koncem drugega.
Nastali vektor povezuje začetek prvega s koncem drugega.
Za določitev velikosti nastalega vektorja med dvema pravokotnima vektorjema primerjamo začetek obeh vektorjev.
Modul nastalega vektorja je določen s Pitagorejskim izrekom.
Seštevanje in odštevanje poševnih vektorjev
Dva vektorja sta poševna, če tvorita kot med svojimi smeremi, ki ni 0°, 90° in 180°. Za dodajanje ali odštevanje poševnih vektorjev se uporabljata metoda paralelograma in poligonalne črte.
metoda paralelograma
Če želite izvesti metodo ali pravilo paralelograma med dvema vektorjema in narisati dobljeni vektor, sledimo tem korakom:
Prvi korak je, da postavimo njihov izvor na isto točko in narišemo črte, vzporedne z vektorji, da tvorimo paralelogram.
Drugi je narisati diagonalni vektor na paralelogramu med zvezo vektorjev in zvezo vzporednih premic.
Črtkane črte so vzporedne z vektorji, oblikovana geometrijska figura pa je paralelogram.
Nastali vektor je črta, ki povezuje izvor vektorjev z vzporednicami.
O modula nastalega vektorja je pridobljen s kosinusnim zakonom.
Kje:
R je velikost nastalega vektorja;
a je vektorski modul ;
b je modul vektorja ;
je kot med smerema vektorjev.
Metoda paralelograma se uporablja za dodajanje para vektorjev. Če želite dodati več kot dva vektorja, ju morate dodati dva po dva. Vektorju, ki izhaja iz vsote prvih dveh, dodamo tretjega in tako naprej.
Drug način za dodajanje več kot dveh vektorjev je uporaba metode mnogokotne črte.
metoda poligonalne črte
Metoda poligonalne črte se uporablja za iskanje vektorja, ki je rezultat dodajanja vektorjev. Ta metoda je še posebej uporabna pri dodajanju več kot dveh vektorjev, kot so naslednji vektorji ,
,
in
.
Za uporabo te metode moramo vektorje razvrstiti tako, da konec enega (puščice) sovpada z začetkom drugega. Pomembno je ohraniti modul, smer in smer.
Po razporeditvi vseh vektorjev v obliki poligonalne črte moramo izslediti nastali vektor, ki gre od začetka prvega do konca zadnjega.
Pomembno je, da dobljeni vektor zapre poligon, pri čemer njegova puščica sovpada s puščico v zadnjem vektorju.
Komutativna lastnost je veljavna, saj vrstni red, v katerem postavimo grafične vektorje, ne spremeni nastalega vektorja.
vektorska razgradnja
Razgraditi vektor pomeni napisati komponente, ki sestavljajo ta vektor. Te komponente so drugi vektorji.
Vsak vektor lahko zapišemo kot sestavo drugih vektorjev z vektorsko vsoto. Z drugimi besedami, vektor lahko zapišemo kot vsoto dveh vektorjev, ki ju imenujemo komponente.
S pomočjo kartezijanskega koordinatnega sistema s pravokotnima osoma x in y določimo komponente vektorja.
vektor je rezultat vektorske vsote med komponentnimi vektorji.
in
.
vektor nagib
tvori pravokoten trikotnik z osjo x. Tako s trigonometrijo določimo module komponentnih vektorjev.
Komponentni modul ax.
Komponentni modul ay.
vektorski modul dobimo iz Pitagorejskega izreka.
Primer
Silo izvedemo tako, da povlečemo blok s tal. Sila modula 50 N je nagnjena za 30° od vodoravnice. Določite vodoravno in navpično komponento te sile.
Podatki:
Množenje realnega števila z vektorjem
Z množenjem realnega števila z vektorjem bo rezultat nov vektor, ki ima naslednje značilnosti:
- Ista smer, če je realno število nenič;
- Ista smer, če je realno število pozitivno, in v nasprotni smeri, če je negativno;
- Modul bo zmnožek modula realnega števila in modula pomnoženega vektorja.
Zmnožek med realnim številom in vektorjem
Kje: je vektor, ki je rezultat množenja;
je pravo število;
je vektor, ki se množi.
Primer
Naj bo realno število n = 3 in vektor po modulu 2 je produkt med njima enak:
Izračun modula
Smer in smer bosta enaki.
vaja 1
(Enem 2011) Sila trenja je sila, ki je odvisna od stika med telesi. Lahko jo opredelimo kot nasprotno silo težnji teles k premikanju in nastane zaradi nepravilnosti med dvema kontaktnima površinama. Na sliki puščice predstavljajo sile, ki delujejo na telo, povečana pika pa predstavlja nepravilnosti, ki obstajajo med obema površinama.
Na sliki so vektorji, ki predstavljajo sile, ki povzročajo premik in trenje, oz.
The) 
B) 
ç) 
d) 
in) 
Pravilen odgovor: črka a) 
Puščice predstavljajo vektorje sil, ki delujejo pri gibanju v vodoravni smeri, saj so par akcija-reakcija, imajo nasprotne smeri.
Navpične puščice predstavljajo delovanja sile uteži in normalne sile in, ker sta enaki, se medsebojno izničita, brez premikanja v navpični smeri.
vaja 2
(UEFS 2011) Vektorski diagram na sliki prikazuje sile, s katerimi delujeta dva gumijasta trakova na zob osebe, ki je na ortodontskem zdravljenju.
Ob predpostavki, da je F = 10,0N, sen45° = 0,7 in cos45° = 0,7, je intenzivnost sile, ki jo elastike delujejo na zob, v N enaka
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Pravilen odgovor: c) 2√85
Intenzivnost sile, ki deluje na zob, je določena s kosinusnim zakonom.
a in b sta enaka 10 N.
Z faktorjenjem kvadratnega korena dobimo:
Zato je intenzivnost rezultujoče sile, ki jo uporabljajo gumijasti trakovi na zobu .
3. vaja
(PUC RJ 2016) Sile F1, F2, F3 in F4 na sliki tvorijo med seboj prave kote in njihovi moduli so 1 N, 2 N, 3 N in 4 N.
Izračunajte modul neto sile v N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Pravilen odgovor: d) 2√ 2
Za določitev nastalega vektorja uporabljamo metodo poligonalne črte. Da bi to naredili, prerazporedimo vektorje tako, da konec enega sovpada z začetkom drugega, takole:
S pomočjo koordinatnega sistema z izvorom na začetku nastalega vektorja lahko določimo module njegovih komponent, kot sledi:
Tako moramo:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Velikost nastalega vektorja je določena s Pitagorejskim izrekom.
Zato je modul neto sile enak .
izvedeti več o
- Vektorji: seštevanje, odštevanje in razgradnja.
- Vektorske količine
✖
