Trigonometrične funkcije polovičnega loka

Ob trigonometrične funkcije, sinus, kosinus in tangens polovice loka lahko dobimo iz trigonometričnih funkcij dvojnega loka.

Glede na lok mere $\ dpi {120} \ alfa$ , dvojni lok je lok $\ dpi {120} 2 \ alfa$ in pol lok je lok $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Avtor dve formuli dodajanja loka, imamo trigonometrične funkcije dvojnega loka:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangenta:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Iz teh formul bomo prikazali formule za polobločne trigonometrične funkcije.

Trigonometrične funkcije polovičnega loka

Eden od temeljni odnosi trigonometrije je to:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Kje dobimo:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

zamenjava $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ v formuli kosinusa dvojnega loka moramo:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Oglejte si nekaj brezplačnih tečajev

Brezplačni spletni tečaj inkluzivnega izobraževanja
Brezplačna spletna knjižnica igrač in tečaj
Brezplačni spletni tečaj matematičnih iger v predšolskem izobraževanju
Brezplačni tečaj pedagoških kulturnih delavnic na spletu

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Zato: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

zamenjava $\ dpi {120} \ alfa$ na $\ dpi {120} \ alpha / 2$ v zgornji formuli in pri pridobivanju kvadratnega korena na obeh straneh imamo formulo za kosinus loka polovice:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Opomba: Znak v formuli bo pozitiven ali negativen glede na kvadrant polovice loka.

Zdaj nadomešča $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ v formuli kosinusa dvojnega loka moramo:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Zato:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

zamenjava $\ dpi {120} \ alfa$ na $\ dpi {120} \ alpha / 2$ v zgornji formuli in pri pridobivanju kvadratnega korena na obeh straneh imamo formulo za polovica sinusnega loka:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Opomba: Znak v formuli bo pozitiven ali negativen glede na kvadrant polovice loka.

Na koncu lahko dobimo tangento polovice loka, tako da sinus loka polovice delimo s kosinusom polovice loka:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alfa}}}$

Zato je formula polovična tangenta loka é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Opomba: Znak v formuli bo pozitiven ali negativen glede na kvadrant polovice loka.

Morda vas tudi zanima:

trigonometrični krog
trigonometrična tabela
Trigonometrična razmerja
zakon o grehih
kosinusni zakon

Geslo je bilo poslano na vaš e-poštni naslov.

Trigonometrične funkcije polovičnega loka

Trigonometrične funkcije polovičnega loka

Kaj je bila razglasitev republike?

Vaje o gospodarskih ciklih Brazilije

Kako narediti štetje odstotkov