Do sredine 16. stoletja so enačbe, kot je x2 - 6x + 10 = 0 so preprosto veljali za "brez rešitve". To je bilo zato, ker bi bil po formuli Bhaskare pri reševanju te enačbe najden rezultat:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Težava je bila najdena v √– 4, ki znotraj niza realnih števil nima rešitve, torej št obstaja realno število, ki pomnoženo samo s seboj dobi √– 4, saj je 2 · 2 = 4 in (–2) (- 2) = 4.
Leta 1572 je bil Rafael Bombelli zaposlen z reševanjem enačbe x3 - 15x - 4 = 0 z uporabo Cardanove formule. S pomočjo te formule se sklene, da ta enačba nima resničnih korenin, saj je na koncu treba izračunati √– 121. Vendar je po nekaj poskusih mogoče ugotoviti, da 43 - 15 · 4 - 4 = 0 in zato je x = 4 koren te enačbe.
Glede na obstoj resničnih korenin, ki jih ne izraža Cardanova formula, je Bombelli mislil domnevati da bi √– 121 povzročil √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 in bi to lahko bil „neresničen“ koren za enačbo študiral. Tako bi bilo √– 121 del nove vrste števila, ki tvori druge neznane korenine te enačbe. Torej enačba x
3 - 15x - 4 = 0, ki ima tri korenine, bi imel x = 4 kot pravi koren in dve drugi korenini, ki pripadata tej novi vrsti števila.V poznem 18. stoletju je Gauss te številke poimenoval kot kompleksna števila. Takrat so že dobivale zapletene številke a + bi, s i = √– 1. Poleg tega The in B že so veljali za točke kartezijanske ravnine, znane kot Argand-Gaussova ravnina. Tako je imelo kompleksno število Z = a + bi za geometrijski prikaz točko P (a, b) kartezijske ravnine.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Zato izraz „kompleksna števila"Se je začel uporabljati glede na številčni niz, katerega predstavniki so: Z = a + bi, z i = √– 1 in z The in B pripada množici realnih števil. Ta predstavitev se imenuje algebrska oblika kompleksnega števila Z.
Ker so kompleksna števila tvorjena iz dveh realnih števil in se eno od njih pomnoži z √– 1, te realne številke so dobile posebno ime. Upoštevajoč kompleksno število Z = a + bi, je a "realni del Z" in b "namišljeni del Z". Matematično lahko zapišemo: Re (Z) = a in Im (Z) = b.
Ideja modula kompleksnega števila je kristalizirana analogno ideji modula realnega števila. Če upoštevamo točko P (a, b) kot geometrijski prikaz kompleksnega števila Z = a + bi, je razdalja med točko P in točko (0,0) podana z:
| Z | = √(2 + b2)
Drugi način za predstavitev kompleksnih števil je skozi Polarna ali trigonometrična oblika. Ta oblika v svoji sestavi uporablja modul kompleksnega števila. Kompleksno število Z, algebraično Z = a + bi, lahko s polarno obliko predstavimo z:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Zanimivo je, da je kartezijanska ravnina definirana z dvema pravokotnima črtama, znanima kot osi x in y. Vemo, da lahko realna števila predstavimo s premico, na kateri so postavljena vsa racionalna števila. Preostali prostori so zapolnjeni z iracionalnimi številkami. Medtem ko so dejanske številke v vrstici, imenovani Os X iz kartezične ravnine bi bile vse druge točke, ki pripadajo tej ravnini, razlika med kompleksnimi števili in realnimi števili. Tako je množica realnih števil vsebovana v množici kompleksnih števil.
Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike
Bi se radi sklicevali na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? Poglej:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Kaj so kompleksna števila?"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Dostop 27. junija 2021.
