Disperzijske mere: varianca in standardni odklon

V študiji Statistika, imamo nekaj strategij za preverjanje, ali so vrednosti, predstavljene v naboru podatkov, razpršene ali ne in kako daleč so narazen. Orodja, ki se uporabljajo za to, so razvrščena kot disperzijski ukrepi in poklical variance in standardni odklon. Poglejmo, kaj predstavlja vsak od njih:

Varianca:

• Glede na nabor podatkov je varianca merilo razpršenosti, ki prikazuje, kako daleč je vsaka vrednost v tem naboru od osrednje (povprečne) vrednosti.

• Manjša je varianca, bližje so vrednosti srednji vrednosti; toda večja kot je, dlje so vrednosti od povprečja.

• Razmislite o tem x₁, x₂,…, X_štso št elementi a vzorec je to X in aritmetična sredina teh elementov. Izračun varianca vzorca Daje ga:

  Var. vzorec = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_št – x)²
  ​n - 1

• Če pa želimo izračunati odstopanje prebivalstva, bomo upoštevali vse elemente populacije, ne le vzorec. V tem primeru ima izračun majhno razliko. Pazi:

  Var. prebivalstvo = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_št – x)²
  št

Standardni odklon:

• Standardni odklon lahko prepozna napako v naboru podatkov, če smo želeli eno od zbranih vrednosti nadomestiti z aritmetično sredino.

• Standardni odklon se prikaže poleg aritmetične sredine in sporoča, kako zanesljiva je ta vrednost. Predstavljen je na naslednji način:

  aritmetično povprečje (x) ± standardni odklon (sd)

• Izračun standardnega odklona je narejen iz pozitivnega kvadratnega korena variance. Zato:

  dp = √var

Zdaj uporabimo izračun variance in standardnega odklona v primeru:

V eni šoli se je odbor odločil, da preuči število učencev, ki imajo vse ocene nadpovprečne iz vseh predmetov. Da bi jo bolje analizirala, se je direktorica Ana odločila, da bo v enem letu v vzorcu štirih razredov sestavila tabelo s številom "modrih" ocen. Glej spodnjo tabelo, ki jo organizira ravnatelj:

Pred izračunom variance je treba preveriti aritmetično povprečje(x) število nadpovprečnih učencev v posameznem razredu:

6. letnik → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. leto → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. letnik → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. leto → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Za izračun variance števila učencev nad povprečjem v posameznem razredu uporabimo a vzorec, zato uporabljamo formulo varianca vzorca:

Var. vzorec = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_št – x)²
n - 1

6. letnik → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. leto → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. letnik → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. leto → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Ko je znana varianca vsakega razreda, izračunajmo standardni odklon:

6. letnik dp = √var dp = 4,33 ​dp ≈ 2,08

7. leto dp = √var dp = 8,00 EUR ​dp ≈ 2,83

8. letnik dp = √var dp = 6,91 ​dp ≈ 2,63

9. leto dp = √var dp = .613,66 ​dp ≈ 3,70

Za dokončanje analize lahko ravnateljica predstavi naslednje vrednosti, ki kažejo povprečno število učencev nad povprečjem na anketirani razred:

6. letnik: 7,50 ± 2,08 študenta nadpovprečno na termin;
7. leto: 8,00 ± 2,83 študenta nad povprečjem na dva meseca;
8. letnik: 8,75 ± 2,63 študenta nad povprečjem na dva meseca;
9. leto: 8,50 ± 3,70 študenta nad povprečjem na dva meseca;

Drugi ukrep razpršenosti je koeficient variacije. Poglej tukaj kako to izračunati!

Avtorica Amanda Gonçalves
Diplomiral iz matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm