Ena izmed tehnik, ki se uporablja za reševanje kvadratne enačbe je metoda, znana kot popolni kvadrati. Ta metoda je sestavljena iz interpretacije enačba od drugičstopnjo kot popoln kvadratni trinom in napišite svoj faktorski obrazec. Včasih ta preprost postopek že razkrije korenine enačbe.
Zato je treba imeti osnovno znanje o pomembni izdelki, trinomkvadratOdlično in polinomska faktorizacija za uporabo te tehnike. Pogosto pa omogoča, da se izračuni izvajajo "v glavo".
Zato se bomo spomnili treh primerov izdelkovizjemno pred predstavitvijo metodadokončatikvadratov, ki pa bodo razkrite v treh različnih primerih.
Izjemni izdelki in popolni kvadratni trinomi
Nato si oglejte izjemen izdelek, trinomkvadratOdlično kar je enakovredno njej in obliki upoštevano tega trinoma. Za to upoštevajte, da x ni znan in The je katero koli realno število.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Enačba druge stopnje, ki se nanaša na tretjo izdelkaizjemno, znan kot zmnožek vsote in razlike, je mogoče rešiti s tehniko, ki še olajša izračune. Posledično tukaj ne bo upoštevan.
Enačba je popoln kvadratni trinom
Če ena enačba od drugičstopnjo je popoln kvadratni trinom, potem lahko njegove koeficiente določite kot: a = 1, b = 2k ali - 2k in c = k2. Če želite to preveriti, primerjajte kvadratno enačbo z a trinomkvadratOdlično.
Zato je v raztopini enačba od drugičstopnjo x2 + 2kx + k2 = 0, vedno bomo imeli možnost narediti:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Tako je rešitev edinstvena in enaka –k.
Če enačba biti x2 - 2kx + k2 = 0, lahko naredimo enako:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Zato je rešitev edinstvena in enaka k.
Primer: Kaj so korenine enačba x2 + 16x + 64 = 0?
Upoštevajte, da je enačba a trinomkvadratOdlično, saj je 2k = 16, kjer je k = 8, in k2 = 64, kjer je k = 8. Tako lahko zapišemo:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Tu je bil rezultat poenostavljen, saj že vemo, da bosta obe rešitvi enaki enakemu realnemu številu.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Enačba ni popoln kvadratni trinom
V primerih, ko enačba od drugičstopnjo ni popoln kvadratni trinom, lahko za izračun njegovih rezultatov upoštevamo naslednjo hipotezo:
x2 + 2kx + C = 0
Upoštevajte, da se bo ta enačba spremenila v a trinomkvadratOdlično, samo zamenjajte vrednost C z vrednostjo k2. Ker je to enačba, je edini način za to, da dodamo k2 na obeh članih in nato zamenjal članski koeficient C. Pazi:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Po tem postopku lahko nadaljujemo s prejšnjo tehniko in preoblikujemo trinomkvadratOdlično v izjemen izdelek in izračun kvadratnih korenin na obeh okončinah.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Znak ± se prikaže vsakič, ko je rezultat a enačba je kvadratni koren, ker je v teh primerih rezultat kvadratnega korena a modul, kot je prikazano v prvem primeru. Na koncu je ostalo le še:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Torej, te enačbe imajo dva rezultata resnično in različen ali pa resničen rezultat ni, če je C> k2.
Na primer, izračunaj korenine x2 + 6x + 8 = 0.
Rešitev: Upoštevajte, da je 6 = 2 · 3x. K = 3 in s tem k2 = 9. Zato je število, ki ga moramo dodati v obeh članih, enako 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
V tem primeru je koeficient a ≠ 1
ko je koeficient The, daje enačba od drugičstopnjo, se razlikuje od 1, samo delite celotno enačbo s številsko vrednostjo koeficienta The nato uporabiti eno od prejšnjih dveh metod.
Torej, v enačbi 2x2 + 32x + 128 = 0, imamo edinstveni koren, ki je enak 8, ker:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
In v enačbi 3x2 + 18x + 24 = 0, imamo korenine - 2 in - 4, ker:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike
