D'Alembertov izrek

D'Alembertov izrek je neposredna posledica preostalega izreka, ki se ukvarja z delitvijo polinoma z binomom tipa x - a. Izrek o preostanku pravi, da bo imel polinom G (x), deljen z binomom x - a, ostanek R enak P (a), za
x = a. Francoski matematik D'Alembert je ob upoštevanju zgoraj navedenega izreka dokazal, da je polinom kateri koli Q (x) bo deljiv z x - a, to pomeni, da bo preostanek delitve enak nič (R = 0), če je P (a) = 0.
Ta izrek je olajšal izračun delitve polinoma z binomom (x –a), zato ni treba rešiti celotne delitve, da bi vedeli, ali je ostanek enak ali drugačen od nič.
Primer 1
Izračunaj preostanek delitve (x² + 3x - 10): (x - 3).
Kot pravi D'Alembertov teorem, bo preostanek (R) te delitve enak:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Preostanek te divizije bo torej 8.
2. primer
Preverite, če x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 je deljivo z x - 1.
Po D’Alembertu je polinom deljiv z binomom, če je P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4

P (1) = - 1
Ker P (1) ni nič, polinom ne bo deljiv z binomom x - 1.
3. primer
Izračunajte vrednost m tako, da ostanek delitve polinoma
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 z x - 2 je 6.
Imamo to, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8 m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
4. primer
Izračunaj ostanek delitve 3x polinoma³ + x² - 6x + 7 krat 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

avtor Mark Noah
Diplomiral iz matematike
Brazilska šolska ekipa

Polinomi - Matematika - Brazilska šola

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm