Ты иррациональные числа долгое время вызывало у математиков большое беспокойство. Сегодня, уже хорошо определенное, мы знаем как иррациональное число то, чье число десятичное представление всегда непериодическое десятичное. Основная характеристика иррациональных чисел и то, что отличает их от рациональных чисел, заключается в том, что они не может быть представлен доля.
Изучение иррациональных чисел было углублено, когда при вычислении задач, связанных с теоремой Пифагора, были найдены неточные корни. Акт поиска решения этих неточных корней сделал существование неточной десятины замечательным периодические, то есть чисел, десятичная часть которых бесконечна и не имеет хорошей последовательности. определенный. Основные иррациональные числа - это непериодические десятичные дроби, неточные корни и π.
Читайте тоже: Квадратный корень - случай укоренения, когда индекс корня равен 2
Набор иррациональных чисел
До изучения иррациональных чисел изучались наборы чисел.
естественный, целые числа и рациональные числа. При более глубоком изучении прямоугольного треугольника выяснилось, что есть корни, у которых нет точного решения., в частности, можно было увидеть, что неточные корневые решения - это числа известная как непериодическая десятина.В разгар этого беспорядка многие математики безуспешно пытались продемонстрировать, что неточные корни - это рациональные числа и которое можно представить в виде дроби, но было решено, что эти числа не могут быть представлены в этом форма. Поскольку до сих пор набор рациональных чисел не включал эти числа, возникла необходимость в создании нового набора, известного как набор иррациональных чисел.
Число является иррациональным, если его десятичное представление является непериодическим десятичным числом. |
Что такое иррациональные числа?
Чтобы быть иррациональным числом, оно должно удовлетворять определению, то есть его десятичное представление - непериодическое десятичное. Основная характеристика непериодических десятичных дробей заключается в том, что они не могут быть представлены с помощью дроби, что показывает, что иррациональные числа противоположны рациональным числам.
Основные числа с этой функцией - это корни не точные.
Примеры:
а) √2
б) √5
в) √7
г) √13
При поиске неточных корневых решений, то есть при десятичном представлении этих чисел, всегда мы найдем непериодическую десятичную дробь, которая делает эти числа элементами множества иррационально.
Помимо неточных корней, существуют и сами непериодические десятичные дроби, например, если мы вычисляем неточные корни, мы найдем непериодические десятичные дроби.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Иррациональные числа обычно обозначаются греческими буквами., потому что невозможно записать все его десятичные знаки.
Первый - это π (читай: пи), присутствует при расчете площади и периметра кругов. Имеет значение, равное 3,1415926535…
Помимо π, еще одним очень распространенным числом является ϕ (читай: fi). Он встречается в проблемах, связанных с пропорция золотой. Имеет значение 1,618033 ...
Смотрите также: Что такое простые числа?
рациональное и иррациональное число
Анализируя числовые наборы, важно различать рациональные числа и иррациональные числа. Объединение этих двух множеств образует одно из наиболее изученных множеств в математике, множество действительных чисел, то есть множество вещественные числа это соединение чисел, которые могут быть представлены как дроби (рациональные), с числами, которые не могут быть представлены как дроби (иррациональные).
В наборе рациональное число, есть целые числа, натуральные числа, точные десятичные дроби и периодические десятичные дроби.
Примеры рациональных чисел:
-60 → целое
2,5 → точная десятичная дробь
5.1111111… → периодический десятичный
Иррациональные числа являются непериодическими десятичными знаками, поэтому не существует числа, которое одновременно является рациональным и иррациональным.
Пример иррациональных чисел:
1,123149… → непериодическая десятина
2.769235… → непериодическая десятина
Операции с иррациональными числами
сложение и вычитание
THE добавление и вычитание двух иррациональных чисел обычно только что представил, если не используется десятичное приближение этих чисел, например:
а) √6 + √5
б) √6 - √5
в) 1,414213… + 3,1415926535…
Мы не можем складывать или вычитать значения из-за радикалов, поэтому мы просто оставили указанную операцию.
В десятичных представлениях также невозможно вычислить точную сумму, поэтому чтобы сложить два иррациональных числа, нам нужно рациональное приближение., и это представление выбрано в соответствии с необходимостью точности этих данных. Чем больше десятичных знаков мы учитываем, тем ближе к точной сумме.
Наблюдение:набор иррациональных чисел не замкнут для сложения или вычитания, это означает, что сумма двух иррациональных чисел может привести к нерациональному числу. Например, если мы вычисляем разность иррационального числа по его противоположности, мы должны:
а) √2 - √2 = 0
б) π + (-π) = 0
Мы знаем, что 0 не является иррациональным числом.
Умножение и деление
Умножение и разделение иррациональных чисел может быть выполнено, если представление является радиацияоднако, как и сложение в десятичном представлении, то есть умножение или деление двух десятичных знаков, требуется рациональное приближение этого числа.
а) √7 · √5 = √35
б) √32: √2 = √16 = 4
Также обратите внимание, что в примере b, 4 - рациональное число, что означает, что умножение и деление двух иррациональных чисел не замкнуты, то есть они могут иметь рациональный результат.
решенные упражнения
Вопрос 1 - Просмотрите следующие числа:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Это иррациональные числа:
А) Только I, IV и V
Б) Только II, III и VI
C) Только II, IV и VI
D) Только I, II, III и VI
E) Только III, IV, V и VI
разрешение
Альтернатива B
I → число точное десятичное, рациональное.
II → число - непериодическое иррациональное десятичное число.
III → π иррационально, и его дубль, то есть 2π, также иррационален.
IV → число - периодическая рациональная десятичная дробь.
V → точный рациональный корень.
VI → корень неточный, иррациональный.
Вопрос 2 - Оцените, пожалуйста, следующие утверждения:
I - Множество действительных чисел представляет собой объединение рационального и иррационального;
II - сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом;
III - Десятины - это иррациональные числа.
Анализируя высказывания, можно сказать, что:
А) Верно только утверждение I.
Б) Верно только утверждение II.
C) Верно только утверждение III.
D) Верны только утверждения I и II.
E) Все утверждения верны.
разрешение
Альтернатива D
I → True, потому что определение множества действительных чисел - это объединение рационального и иррационального.
II → Верно, когда мы прибавляем число к противоположному, в результате мы получим число 0, что является рациональным.
III → Ложные, непериодические десятины иррациональны.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm