Внутренний продукт между двумя векторами

О скалярное произведение между двумя векторами - действительное число, которое связывает величину этих векторов, то есть их длину, и угол между ними. Поэтому для его расчета необходимо знать их длину и угол, который они образуют.

Используя плоскость в качестве основы, вектор указывает местоположение, интенсивность, направление и направление. Поэтому он используется в исследованиях механики (физики) как представитель силы, приложенной к объекту.

Обычное представление вектора - стрелка, которая заканчивается в точке. Координаты этой точки называются координатами вектора, начинающегося из точки O (0,0). Мы пишем v = (a, b) для его представления. Таким образом, вектор v = (1,2) строится следующим образом:

Пример вектора, начиная с начала координат

Чтобы вычислить длину этого вектора, рассмотрите образованный им прямоугольный треугольник и его проекцию на ось x (или ось y), как показано на следующем рисунке:

Длина вектора v

Длина вектора v называется v векторная норма или же векторный модуль v и представлен как | v |. Обратите внимание, что норма вектора v = (a, b) - это в точности мера гипотенузы треугольника, представленного на рисунке выше. Для вычисления этой меры воспользуемся теоремой Пифагора:

| v |² = the² + b²

| v | = √ (a² + b² )

Два вектора скалярного произведения

Учитывая два вектора u и v, внутренний продукт между ними представлен как и определяется как:

= | u || v | · cosθ

Это своего рода умножение между двумя векторами, однако оно не называется произведением, поскольку это не обычное умножение, поскольку оно включает угол, образованный этими двумя векторами.

Угол между двумя векторами

Первый результат, вытекающий из приведенного выше определения, - это угол между двумя векторами. С помощью вещественных чисел «скалярное произведение», «норма вектора u» и «норма вектора v» можно вычислить угол между векторами u и v. Для этого достаточно произвести расчеты:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Следовательно, разделив внутренний продукт на нормы векторов u и v, мы находим действительное число, относящееся к косинусу между этими двумя векторами и, следовательно, углу между ними.

Обратите внимание, что если угол между двумя векторами прямой, cosθ равен нулю. Следовательно, вышеуказанный продукт будет иметь следующий результат:

= 0

Отсюда можно сделать вывод, что для двух векторов u и v они будут ортогональными, если = 0.

Внутренний продукт рассчитывается по векторным координатам

Учитывая два вектора u = (a, b) и v = (c, d), скалярное произведение между u и v определяется как:

= = a · c + b · d

Внутренние свойства продукта

Учитывая векторы u, v и w и действительное число α, обратите внимание:

я) =

Это означает, что скалярное произведение векторов «коммутативно».

II) = +

Это свойство сравнимо с дистрибутивностью умножения над сложением.

iii) = = α

Вычисление внутреннего произведения между u и v, умноженного на действительное число α, аналогично вычислению внутреннего произведения между αv и u или между v и αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Внутреннее произведение v на v равно нулю, только если v - нулевой вектор.

v) ≥ 0 для всех v.

Внутреннее произведение v на v всегда будет больше или равно нулю.

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm