Уравнение: что это такое, основные понятия, виды, примеры

Один уравнение является математическим предложением, которое имеет равенство и по крайней мере одно неизвестное, то есть когда мы участвуем алгебраическое выражение и равенство. Изучение уравнений требует предварительных знаний, таких как изучение числовые выражения. Цель уравнения - найти неизвестное значение который превращает равенство в идентичность, то есть в настоящее равенство.

Читайте тоже:Операции с дробями - как рассчитать?

Основные концепции для изучения уравнений

Уравнение - это математическое предложение, в котором есть неизвестный, по крайней мере, и равенство, и мы можем ранжировать его по количеству неизвестных. См. Несколько примеров:

а) 5т - 9 = 16

В уравнении есть неизвестное, обозначенное буквой т.

б) 5x + 6y = 1

Уравнение имеет две неизвестные, представленные буквами Икс а также у.

в) т⁴ - 8z = х

Уравнение имеет три неизвестных, представленных буквами хорошо,z а также Икс.

Каким бы ни было уравнение, мы должны учитывать ваши набор вселеннойсостоит из всех возможных значений, которые мы можем присвоить неизвестному, этот набор обозначается буквой U.

• Пример 1

Рассмотрим уравнение x + 1 = 0 и его возможное решение x = –1. Теперь представьте, что вселенная система уравнения - это естественный.

Обратите внимание, что предполагаемое решение не принадлежит множеству вселенной, поскольку его элементы - это все возможные значения, которые может принимать неизвестное, поэтому x = –1 не является решением уравнения.

Конечно, чем больше неизвестных, тем труднее определить свое решение. THE решение или же источник уравнения - это набор всех значений, которые, будучи присвоенными неизвестному, делают равенство истинным.

• Пример 2

Рассмотрим уравнение с неизвестным 5x - 9 = 16, убедитесь, что x = 5 является решением или корнем уравнения.

Так что можно сказать, что х = 5 является решением уравнения, мы должны подставить это значение в выражение, если мы найдем истинное равенство, число будет проверяемым решением.

5Икс – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Убедитесь, что найденное равенство истинно, значит, у нас есть тождество, и число 5 является решением. Таким образом, мы можем сказать, что набор решений определяется следующим образом:

S = {5}

• Пример 3

Рассмотрим уравнение t² = 4 и проверьте, являются ли t = 2 или t = –2 решениями уравнения.

Аналогично, мы должны подставить значение t в уравнение, однако обратите внимание, что у нас есть два значения для неизвестного, и поэтому мы должны выполнить проверку в два этапа.

Шаг 1 - Для t = 2

т²= 4

2² = 4

4 = 4

Шаг 2 - Для t = –2

т² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Смотрите, что для t = 2 и t = - 2 мы находим тождество, поэтому эти два значения являются решениями уравнения. Таким образом, можно сказать, что набор решений:

S = {2, –2}

Типы уравнений

Мы также можем классифицировать уравнение относительно положения, которое занимают неизвестные. Смотрите основные типы:

• Полиномиальные уравнения

В полиномиальные уравнения характеризуются наличием полинома, равного нулю. См. Несколько примеров:

) 6т³+ 5т²–5t = 0

Число6, 5 а также –5 - коэффициенты уравнения.

Б) 9Икс – 9= 0

Число 9 а также – 9 - коэффициенты уравнения.

в) у²– у – 1 = 0

Число 1, – 1 а также – 1 - коэффициенты уравнения.

• Степени уравнения

Полиномиальные уравнения можно классифицировать по степени. Так же хорошо как многочлены, степень полиномиального уравнения определяется выражением наивысшая степень с ненулевым коэффициентом.

Из предыдущих примеров a, b и c следует, что степени уравнений:

а) 6т³ + 5т² –5t = 0 → Полиномиальное уравнение третья степень

б) 9Икс - 9 = 0 → Полиномиальное уравнение первая степень

ç) у² - y - 1 = 0 → Полиномиальное уравнение Средняя школа

Тоже читай: квадратное уровненеиеu: как рассчитать, виды, примеры

• рациональные уравнения

Рациональные уравнения характеризуются наличием неизвестные в знаменателе доля. См. Несколько примеров:

Тоже читай: Что такое рациональные числа?

• иррациональные уравнения

В иррациональные уравнения характеризуются наличием неизвестные внутри корня n-й степени, то есть внутри радикала с индексом n. См. Несколько примеров:

• экспоненциальные уравнения

В экспоненциальные уравнения иметь неизвестные, расположенные в экспоненте из потенция. См. Несколько примеров:

• логарифмическое уравнение

В логарифмические уравнения характеризуются наличием одно или несколько неизвестных в какой-то части логарифм. Мы увидим, что, применяя определение логарифма, уравнение попадает в некоторые из предыдущих случаев. См. Несколько примеров:

Смотрите также: Уравнение первой степени с неизвестным

Как решить уравнение?

Чтобы решить уравнение, мы должны изучить методы, используемые в каждом типе, то есть для каждого типа уравнения существует свой метод определения возможных корней. Однако все эти методы полученный из принципа эквивалентности, с его помощью можно решать основные типы уравнений.

• Принцип эквивалентности

Второй принцип эквивалентности: мы можем свободно работать с одной стороной равенства, пока мы делаем то же самое с другой стороной равенства. Для лучшего понимания назовем эти стороны.

Следовательно, принцип эквивалентности утверждает, что возможно оперировать первую конечность свободно до тех пор, пока такая же операция выполняется на втором члене.

Чтобы проверить принцип эквивалентности, рассмотрим следующее равенство:

5 = 5

Давайте же теперь добавить с обеих сторон число 7, и обратите внимание, что равенство все равно будет верным:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Давайте же теперь вычесть 10 по обе стороны от равенства, обратите внимание еще раз, что равенство все еще будет верным:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

видеть, что мы можем умножать или же Поделиться и поднять до потенция или даже извлечь источник, пока это делается для первого и второго члена, равенство всегда будет выполняться.

Чтобы решить уравнение, мы должны использовать этот принцип вместе со знанием упомянутых операций. Чтобы облегчить разработку уравнений, опустим операцию, выполняемую над первым членом, это эквивалентно тому, что мы передаем число другому члену, меняя знак на противоположный.

Идея найти решение уравнения всегда актуальна. изолировать неизвестное, используя принцип эквивалентности, Посмотрите:

• Пример 4

Используя принцип эквивалентности, определите множество решений уравнения 2x - 4 = 8, зная, что множество вселенной задается формулой U = ℝ.

2х - 4 = 8

Чтобы решить полиномиальное уравнение первой степени, мы должны оставить неизвестное в первом члене изолированным. Для этого мы возьмем число –4 из первого члена, добавив 4 к обеим сторонам, так как –4 + 4 = 0.

2х - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Обратите внимание, что выполнение этого процесса эквивалентно простой передаче числа 4 с противоположным знаком. Итак, чтобы изолировать неизвестный x, давайте передадим число 2 второму члену, поскольку он умножает x. (Помните: обратная операция умножения - это деление). Это было бы то же самое, что разделить обе стороны на 2.

Следовательно, набор решений определяется следующим образом:

S = {6}

• Пример 5

Решите уравнение 2^{х + 5} = 128, зная, что множество вселенной задается формулой U =.

Чтобы решить экспоненциальное уравнение, давайте сначала воспользуемся следующим свойство потенцирования:

В^{т + п} = the^м · А^нет

Мы также воспользуемся тем, что 2² = 4 и 2⁵ = 32.

2^{х + 5} = 128

2^Икс · 2⁵ = 128

2^Икс · 32 = 128

Обратите внимание, что можно разделить обе стороны на 32, то есть передать число 32 второму элементу путем деления.

Итак, мы должны:

2^Икс = 4

2^Икс = 2²

Единственное значение x, которое удовлетворяет равенству, - это число 2, поэтому x = 2 и набор решений определяется следующим образом:

S = {2}

Уравнения присутствуют в нескольких областях науки.

решенные упражнения

Вопрос 1 - Рассмотрим множество U = ℕ и определим решение следующего иррационального уравнения:

разрешение

Чтобы решить это уравнение, мы должны избавиться от корня первого члена. Обратите внимание, что для этого нам нужно поднять первый член до того же индекса, что и корень, то есть до куба. По принципу эквивалентности мы должны также поднять второй член равенства.

Обратите внимание, что теперь мы должны решить полиномиальное уравнение второй степени. Давайте передадим число 11 второму члену (вычтем 11 с обеих сторон равенства), чтобы выделить неизвестное x.

Икс² = 27 – 11

Икс² = 16

Теперь, чтобы определить значение x, убедитесь, что есть два значения, которые удовлетворяют равенству: x ’= 4 или x’ ’= –4, однажды:

4² = 16

а также

(–4)² = 16

Однако обратите внимание в формулировке вопроса, что данный набор вселенной является набором натуральных чисел, и число –4 не принадлежит ему, таким образом, набор решений задается следующим образом:

S = {4}

вопрос 2 - Рассмотрим полиномиальное уравнение x² + 1 = 0, зная, что множество вселенной задается формулой U = ℝ.

разрешение

Для принципа эквивалентности вычтите 1 из обоих членов.

Икс² + 1 – 1= 0 – 1

Икс² = – 1

Обратите внимание, что равенство не имеет решения, поскольку набор юниверсов - это действительные числа, то есть все значения, которые неизвестное может принять действительными, и нет действительного числа, которое в квадрате отрицательный.

1² = 1

а также

(–1)² = 1

Следовательно, уравнение не имеет решения в множестве действительных чисел, и поэтому мы можем сказать, что множество решений пусто.

S = {}

Робсон Луис
Учитель математики