Окружность: элементы, формулы, упражнения

THE длина окружности плоская геометрическая фигура, образованная объединение равноудаленных точек, то есть они находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой центром. Исследование окружности также присутствует в аналитическая геометрия, в котором можно вывести уравнение, представляющее его.

Хотя круг и окружность плоские геометрические фигуры с некоторыми общими элементами, что обычно вызывает сомнения, эти фигуры имеют важные различия, особенно в отношении размерности.

Читайте тоже: Расстояние между двумя точками - важное понятие аналитической геометрии

элементы круга

Обратите внимание на окружность:

Точка Ç это называется центр круга, и заметим, что ему принадлежат точки A и B. Отрезок, соединяющий концы окружности, проходящей через центр, называется отрезком. диаметр. На предыдущей окружности мы должны диаметр - отрезок AB.

К диаметр разделить пополам, получим радиус окружности, то есть радиус (r) круга это отрезок, соединяющий центр и конец. В данном случае радиус - это сегмент CB. Мы можем установить математическую связь между этими двумя элементами, поскольку диаметр в два раза больше радиуса.

d = 2 · r

• Пример

Определите радиус круга диаметром 40 см.

Мы знаем, что диаметр в два раза больше радиуса, вот так:

длина окружности

Рассмотрим круг, радиус которого равен r. О длина или периметр окружности определяется произведением çконстанта пи (π) в два раза больше радиуса.

Когда мы вычисляем длину или периметр круга, мы определяем размер линии зеленым на предыдущем рисунке, и для этого просто замените значение радиуса в формуле, которая переходит к фигура.

• Пример

Определите длину окружности радиусом 5 см.

Радиус круга равен 5 см, поэтому для определения длины круга мы должны подставить это значение в формулу.

С = 2πr

С = 2 (3,14) (5)

С = 6,24 · 5

C = 31,2 см

Смотрите также: Построение вписанных многоугольников

площадь окружности

Рассмотрим круг радиуса r. Чтобы рассчитать вашу площадь, мы должны умножьте квадрат значения радиуса на π.

Когда мы вычисляем площадь круга, мы определяем меру поверхности, то есть всю область внутри круга.

• Пример

Определите площадь круга радиусом 4 см.

У нас радиус окружности равен 4 см, поэтому мы можем подставить эту меру в формулу для площади. Посмотрите:

А = π · r²

А = 3,14 · (4)²

А = 3,14 · 16

H = 50,24 см²

Уравнение приведенной окружности

Мы знаем, что круг можно построить, набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой началом или центром. Итак, рассмотрим фиксированную точку в Декартова плоскость О (а, б). Набор точек - представленный P (x, y) - на одинаковом расстоянии r от этой фиксированной точки, образует круг радиуса r.

Обратите внимание, что все точки вида P (x, y) находятся на одинаковом расстоянии от точки O (a, b), т. Е. расстояние между точками O и P равно радиусу окружности, таким образом:

В сокращенное уравнениеобратите внимание, что числа В а также B координаты центра круга и что р это мера радиуса.

• Пример

Определите координаты центра и меру радиуса окружности, которая имеет уравнение:

а) (х - 2)² + (у - 6)² = 36

Сравнивая это уравнение с приведенным уравнением, мы имеем:

(Икс - В)² + (у - B)² = р²

(Икс - 2)² + (у -6)² = 36

Смотрите, что a = 2, b = 6 и r² = 36. Единственное уравнение, которое нужно решить:

р² = 36

г = 6

Следовательно, координата центра равна O (2, 6), а длина радиуса равна 6.

б) (х - 5)² + (у + 3)² = 121

Аналогично у нас есть:

(Икс - В)² + (у - B)² = р²

(х - 5)² + (у + 3)² = 121

а = 5

- б = 3

b = –3

В то время как значение радиуса определяется как:

р² = 121

г = 11

в) х² + y² = 1

(Икс - В)² + (у - B)² = р²

Икс² + y² = 1

Обратите внимание, что x² = (х + 0)² и у² = (у + 0)² . Итак, мы должны:

(Икс - В)² + (у - B)² = р²

(х + 0)² + (у + 0)² = 1

Следовательно, координата центра равна O (0, 0), а радиус равен 1.

Также доступ: Как найти центр круга?

общее уравнение круга

Чтобы определить общее уравнение круга, мы должны составить сокращенное уравнение ее. Таким образом, рассмотрим круг с центром в координатах O (a, b) и радиусом r.

Сначала мы разработаем квадраты членов, используя известные продукты; затем мы передадим все числа первому члену; и, наконец, мы объединим термины с одинаковым буквальным коэффициентом, то есть с одинаковыми буквами. Посмотрите:

• Пример

Определите координаты центра и средний радиус круга, который имеет уравнение:

а) х² + y² - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0

Чтобы определить радиус и координаты круга, который имеет это уравнение, мы должны сравнить его с общим уравнением. Посмотрите:

Икс² + y² – 2-йИкс - 2bу + В² + B² –р² = 0

Икс² + y² – 4Икс - 6у + 4 + 9 – 49 = 0

Из сравнений, выделенных зеленым цветом, мы должны:

2-й = 4

а = 2

или же

В² = 4

а = 2

Из сравнений, выделенных красным, мы имеем следующее:

2b = 6

б = 3

или же

B² = 9

б = 3

Таким образом, можно сказать, что центр имеет координату O (2, 3). Теперь, сравнивая значение r, мы имеем:

р² = 49

г = 7

Следовательно, радиус круга имеет длину, равную 7.

б) х² + y² - 10х + 14у + 10 = 0

Аналогичным образом сравним уравнения:

Икс² + y² – 2-йИкс - 2bу + В² + b² - р² = 0

Икс² + y² –10Икс + 14у + 10 = 0

2-й = 10

а = 5

Определение значения b:

–2b = 14

б = - 7

Обратите внимание:

В² + b² - р² = 10

Поскольку нам известны значения a и b, мы можем подставить их в формулу. Посмотрите:

В² + b² - р² = 10

5² + (–7)² - р² = 10

25 + 49 - р² = 10

74 - р² = 10

- р² = 10 – 74

(–1) - р² = –64 (–1)

р² = 64

г = 8

Следовательно, координаты центра равны O (5, –7), а радиус имеет длину, равную 8.

Круг - это плоская фигура, образованная объединением равноудаленных точек.

Различия между окружностью и кругом

Разница между кругом и кругом касается количество измерений каждого элемента. У круга одно измерение, а у круга два.

Круг - это область на плоскости, образованная точками, все равно удаленными от фиксированной точки, называемой началом координат. Круг состоит из каждой области внутри круга. Посмотрите разницу в изображениях:

Смотрите также:длина окружности и площадь круга

решенные упражнения

Вопрос 1 - Окружность имеет периметр, равный 628 см. Определите диаметр этой окружности (примите π = 3,14).

разрешение

Поскольку периметр равен 628 см, мы можем подставить это значение в выражение длины окружности.

вопрос 2 - Две окружности концентрические, если у них один и тот же центр. Зная это, определите площадь пустой фигуры.

разрешение

Обратите внимание, что для определения площади области, выделенной белым, мы должны определить площадь большего круга, а затем площадь меньшего круга синего цвета. Также обратите внимание, что если мы удалим синий круг, останется только желаемая область, поэтому мы должны вычесть эти области. Посмотрите:

THE_БОЛЬШЕ = г²

THE_БОЛЬШЕ = (3,14) · (9)²

THE_БОЛЬШЕ = (3,14) · 81

THE_БОЛЬШЕ = 254,34 см²

Теперь рассчитаем площадь синего круга:

THE_МЕНЬШЕ = г²

THE_МЕНЬШЕ = (3,14) · (5)²

THE_МЕНЬШЕ = (3,14) · 25

THE_МЕНЬШЕ = 78,5 см²

Таким образом, пустая область определяется разницей между большей и меньшей площадью.

THE_БЕЛЫЙ = 254,34 – 78,5

THE_БЕЛЫЙ = 175,84 см²

Робсон Луис
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm