Многогранники (от латинского поли - многие - и эдр - лицо) являются цифрытрехмерный образованный объединением правильных многоугольников, в которых все многогранные углы конгруэнтны. Объединение этих многоугольников образует элементы, составляющие многогранник, а именно: вершины, края а также лица. Однако не всякая трехмерная фигура является многогранником, примером этого являются фигуры с изогнутыми гранями, называемые круглые тела.
Существует математическая формула, связывающая элементы многогранника, называемого Отношения Эйлера. Кроме того, многогранники делятся на две группы: так называемые многогранники. выпуклый и не выпуклый. Отдельного внимания заслуживают некоторые многогранники, их называют Многогранники Платона: тетраэдр, шестигранник, октаэдр, додекаэдр а также икосаэдр.
Читайте тоже: Отличия плоских фигур от пространственных
выпуклые многогранники
Многогранник будет выпуклым, если он образован полигоны выпуклый, чтобы были приняты следующие условия:
- два полигона Никогда они компланарны, то есть не принадлежат одной плоскости.
- Каждая сторона одного из этих многоугольников принадлежит только двум многоугольникам.
- Плоскость, которая содержит любой из этих многоугольников, оставляет другие многоугольники в том же полупространстве.
Читайте тоже:Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника
Элементы выпуклого многогранника
Рассмотрим этот выпуклый многогранник:
Ты четырехугольники на рисунке называются лица многогранника.
Ты пятиугольники - грани и основание многогранника, названного пятиугольный базовый многогранник.
Сегменты, образующие каждую из граней, называются края многогранника.
Точки пересечения ребер называются вершины.
Отрезок JC назовем диагональ многогранника, обозначаемого:
JC - одна из диагоналей, мы понимаем диагональ многогранника как отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
У нас также есть многогранный угол, образованный между краями, который обозначается:
Многогранный угол называется трехгранный Когда три ребра исходят из вершины. Точно так же он называется четырехгранный дело четыре ребра исходят из вершины и т. д.
С этого момента мы установим некоторые обозначения, это:
Узнать больше: Планирование геометрических тел
Свойства выпуклого многогранника.
Свойство 1
Сумма ребер всех граней равна удвоенному количеству ребер многогранника.
Пример
Многогранник имеет 6 квадратных граней. Определим количество ребер.
Согласно свойству, просто умножьте количество ребер грани на количество граней, и это будет равно удвоенному количеству ребер. Таким образом:
Свойство 2
Сумма вершин всех граней равна сумме ребер всех граней, что равно удвоенному количеству ребер.
Пример
Многогранник с 5 тетраэдрическими углами и 4 гексаэдрическими углами. Определим количество ребер.
Как и в предыдущем примере, второе свойство говорит, что сумма ребер всех граней равна удвоенному количеству ребер. Количество ребер дается произведением 5 на 4 и 4 на 6, так как это 5 тетраэдрических и 4 гексаэдрических угла. Таким образом:
Вогнутые (невыпуклые) многогранники
Многогранник невыпуклый или вогнутый, если взять две точки на разных гранях и прямую р не все, что содержит эти точки, содержится в многограннике.
Обратите внимание, что прямая линия (отмечена синим цветом) не является полной в многограннике, поэтому многогранник (выделенный розовым цветом) может быть вогнутым или невыпуклым.
правильные многогранники
Мы говорим, что многогранник правильный, когда ваши лица - правильные многоугольники равны друг другу и все равно с многогранными углами.
См. Несколько примеров:
Обратите внимание, что все ваши грани - правильные многоугольники. Его грани образованы квадратами, а все ребра конгруэнтны, то есть имеют одинаковую меру.
читатьтакже: Что такое правильные и выпуклые многоугольники?
Отношения Эйлера
Также известен как Теорема Эйлера, результат был доказан Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и гарантирует, что в весь замкнутый выпуклый многогранник допустимы следующие отношения:
Многогранники Платона
Любой многогранник, удовлетворяющий следующим условиям, называется многогранником Платона:
Справедливо соотношение Эйлера
Все грани имеют одинаковое количество ребер
Все многогранные углы имеют одинаковое количество ребер.
Доказано, что правильных и выпуклых многогранников, или многогранников Платона всего пять, это:
правильный тетраэдр
тетраэдр имеет 4 треугольных грани конгруэнтный и 4 трехгранных угла конгруэнтный.
правильный шестигранник
шестигранник имеет 6 квадратных лиц конгруэнтный и 8 трехгранных углов конгруэнтный.
правильный октаэдр
октаэдр имеет 8 треугольных граней конгруэнтный и 6 тетраэдрических углов конгруэнтный.
правильный додекаэдр
додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней конгруэнтный и 20 угловтрехгранный конгруэнтный.
правильный икосаэдр
Икосаэдр имеет 20 треугольных граней конгруэнтный и 12 пятигранных углов конгруэнтный.
решенные упражнения
1) (Энем) Камень был вырезан в виде 32-гранного выпуклого многогранника, 20 из которых - шестигранники, а остальные - пятиугольники. Это украшение станет подарком даме, которая празднует свой день рождения, достигнув возраста, число которого равно количеству вершин этого многогранника. Эта дама завершает:
а) 90 лет
б) 72 года
в) 60 лет
г) 56 лет
д) 52 года
Решение:
Дает свойство 1 выпуклых многогранников мы знаем, что:
Сейчас как мы знаем количество ребер это количество лиц, мы можем использовать соотношение Эйлера.
Поскольку возраст, который вы завершаете, равен количеству вершин, это 60 лет. Альтернатива c.
2) (PUC-SP) Сколько ребер у выпуклого многогранника с треугольными гранями, у которого число вершин составляет три пятых числа граней?
а) 60
б) 30
в) 25
г) 20
д) 15
Решение:
Из свойств выпуклого многогранника и утверждения упражнения мы имеем:
Подставляя эти значения в соотношение Эйлера, получаем следующее:
Организуя предыдущее уравнение и решая уравнение в F, следует, что:
Подставляя значение количества граней, найденных в уравнение ребер, мы будем иметь:
Альтернатива б
Робсон Луис
Учитель математики
