Комбинаторный анализ: концепции, формулы, примеры

THE комбинаторный анализ это область изучения математики, связанная с правилами счета. В начале 18 века изучение игр с использованием игральных костей и карт привело к тому, что теории счета получили большое развитие.

Работа комбинаторики позволяет осуществлять более точный подсчет.Основной принцип счета (PFC), факториал и типы группировки являются примерами понятий, изучаемых в комбинаторном анализе, которые, помимо предоставления больше точность помогает нетразвитие других областей математики, таких как В вероятность и О Бином Ньютона.

Тоже читай: аранжировка или çкомбинация?

Для чего нужен комбинаторный анализ?

Комбинаторный анализ связан с процессом подсчета, то есть изучение этой области математики позволяет нам разрабатывать инструменты, которые помогают нам выполнять считает более эффективно. Давайте посмотрим на типичную задачу подсчета, см .:

Пример 1

Рассмотрим три города A, B и C, соединенные шоссе R.₁, Р₂, Р₃, Р₄ и R₅. Определите, сколькими способами мы можем добраться из города A в город C через город B.

instagram story viewer

Обратите внимание, что нам нужно покинуть город A и отправиться в город B, и только после этого мы сможем отправиться в город C, поэтому давайте проанализируем все возможности проводить мероприятие по автомагистралям.

1-й способ: р₁ → р₃

2-й способ: р₁ → р₄

3-й способ: р₁ → р₅

4-й способ: р₂ → р₃

5 способ: р₂ → р₄

6 способ: р₂ → р₅

Итак, у нас есть шесть разных способов добраться из города A в город C через город B. Однако обратите внимание, что предложенная проблема относительно проста, а проведенный анализ был мало трудоемким. Итак, с этого момента мы будем изучать более сложные инструменты, которые позволяют решать проблемы с гораздо меньшими затратами.

Фундаментальный принцип счета (PFC)

Рассмотрим событие E, которое может быть выполнено за n независимых и последовательных шагов. Теперь учтем, что количество возможностей выполнить первый шаг равно P₁, также представьте, что количество возможностей для проведения второго этапа равно P.₂и так далее, пока не дойдем до последней стадии, на которой P_нет возможности, которые должны быть выполнены.

Фундаментальный принцип подсчета (PFC) гласит, что полные возможности проведения мероприятия E определяется выражением:

п₁ ·П₂ · … · П_нет

Таким образом, итог определяется как произведение возможностей каждого из шагов, составляющих событие E. Обратите внимание, что для определения общих возможностей проведения события E необходимо знать общие возможности для каждого из этапов.

Пример 2

Давайте повторим пример 1, используя фундаментальный принцип счета.

Рассмотрим изображение в примере 1.

Обратите внимание, что событие может быть проведено в два этапа: первый проходит из города А в город Б, а второй - из города Б в город С. Для выполнения первого шага у нас есть две возможности (дороги R₁ и R₂), а для проведения второго этапа у нас есть три возможности (R₃, Р₄ и R₅).

1 шаг → две возможности

2 этап → три возможности

По основному принципу счета мы должны умножать общие возможности каждого шага.

2 · 3

Таким образом, чтобы перейти из города A в город C через город B, у нас есть в общей сложности шесть возможностей.

Пример 3

Сколько способов могут быть распределены три олимпийские медали в соревновании горный велосипед с пятью конкурентами?

Организация раздачи медалей - мероприятие, которое можно провести в три этапа. Первый шаг - проанализировать общие возможности того, кто получит золотую медаль, то есть пять возможности.

Второй шаг - проанализировать возможности того, кто получит серебряную медаль, то есть четыре, так как первое место не входит в этот выбор. Третий шаг - проанализировать общие возможности того, кто получит бронзовую медаль, то есть три, так как первые два уже выбраны.

1 шаг → пять возможностей

2 этап → четыре возможности

3 этап → три возможности

Итак, по основному принципу счета мы имеем:

5 · 4 · 3

60 возможностей

Смотрите также: Принцип аддитивного подсчета - объединение одного или нескольких наборов

Факториал

О факториал это способ разложить натуральное число. Чтобы вычислить факториал числа, просто умножьте его на всех его предшественников до числа 1. Факториал представлен восклицательным знаком - «!».

Посмотрите несколько примеров того, как вычислить факториал некоторых чисел.

) 2! (читается: два факториала)

Для расчета просто умножьте число, которое сопровождает факториал, на всех его предшественников до числа 1, например:

2! = 2 ·1 = 2

Б) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

г) 1! = 1

Формально факториал можно записать следующим образом:

Рассмотрим натуральное число n> 2. Факториал n обозначается n! и дается умножением n на все его положительные целые предшественники.

нет! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1

Обратите внимание на следующие факториалы:

4! и 5!

Теперь проведем разработку обоих:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

Обратите внимание, что в разработке 5! появляется разработка 4!. Итак, мы можем написать 5! таким образом:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

Пример 4

Вычислить факториал сек.вой:

Смотрите, что 15! разрабатывался до 13!. Также обратите внимание, что в числителе дроби элементы умножаются, поэтому мы можем «вырезать» 13!, в результате получится только 15 · 14.

Наблюдение:0! = 1

Типы группировки

Некоторые задачи подсчета сложнее, и их легче решить с помощью новых инструментов. Эти инструменты называются группировкой, потому что они по-разному группируют элементы, что упрощает процесс подсчета. К этим группам относятся: простое расположение, перестановка и простая комбинация.

простая компоновка

Рассмотрим набор из n различных элементов. давай назовем это расположение from n элементы, взятые от p до p, любая последовательность, упорядоченная p, и различные элементы, выбранные среди элементов.

Таким образом, количество подмножеств, образованных p элементами, будет расположением n элементов, взятых от p до p. Формула, позволяющая рассчитать количество аранжировок, имеет следующий вид:

Пример 5

Рассчитайте значение A_4,2 + А_5,2.

Чтобы вычислить значение выражения, давайте определим каждый из массивов, а затем сложим эти значения вместе. Чтобы определить значение каждого массива, мы должны подставить значения в формулу.

Обратите внимание, что n = 4 и p = 2, оба были заменены в формуле. Теперь мы должны вычислить значение массива из пяти элементов, взятых два на два.

Итак, нам необходимо:

THE_4,2 + А_5,2

12 + 20

Пример 6

Сколько различных четырехзначных натуральных чисел можно составить, используя числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?

В этой задаче мы можем использовать простую схему, так как 2435 ≠ 4235. Мы увидим, что в некоторых случаях порядок элементов не различает их, и поэтому мы не можем использовать расположение.

Поскольку мы хотим определить общее количество чисел, которые могут быть сформированы, обратите внимание, что сумма элементов равна восемь, и мы хотим сгруппировать их четыре по четыре, поэтому:

простая перестановка

Рассмотрим набор из n элементов. давай назовем это простая перестановка из n элементов каждая компоновка из n элементов от n к n. Итак, мы должны:

Чтобы не было путаницы между понятиями, обозначим простую перестановку n элементов через P_нет. Итак, мы должны:

п_нет = п!

Пример 7

Рассчитать P₇ и P₃.

Чтобы вычислить эти перестановки, мы должны подставить значения в формулу. Посмотрите:

п₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

п₇ = 5040

п₃ = 3 · 2 · 1

п₃ = 6

Пример 8

Определите, сколько анаграмм может быть в слове Бразилия.

Под анаграммой мы понимаем все возможные перестановки букв слова, например, «Лизарб» - это анаграмма слова Бразилия. Чтобы определить количество анаграмм, мы должны вычислить перестановку букв в слове, поэтому мы должны:

п₆ = 6!

п₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

п₆ = 720

Следовательно, у слова Бразилия 720 анаграмм.

Также доступ: Перестановка с повторяющимися элементами

простая комбинация

Рассмотрим множество A с n различными элементами. давай назовем это комбинация из n элементов, взятых из p в p любое подмножество A, состоящее из p элементов. Формула для расчета комбинации определяется следующим образом:

Пример 9

Рассчитайте комбинацию из 10 элементов, взятых от четырех до четырех.

Пример 10

Сколько четырехугольники различные, можем ли мы образовать с вершинами в точках A, B, C, D, E и F?

Обратите внимание, что четырехугольник ABCD в этом контексте совпадает с четырехугольником CDBA, поэтому мы должны использовать комбинацию, а не массивы. Всего у нас шесть точек, и мы хотим объединить их четыре на четыре, вот так:

Таким образом, мы можем образовать 15 различных четырехугольников.

Комбинаторный анализ и вероятность

Изучение Вероятность тесно связана с изучением комбинаторного анализа.. В некоторых задачах вероятности необходимо определить пространство выборки, которое состоит из множества, образованного всеми возможными исходами данного события.

В некоторых случаях пространство отсчетов E записывается очень прямо, как при подбрасывании справедливой монеты, где возможными исходами являются орел или решка и обозначаются следующим образом:

E = {орла, решка}

А теперь представьте следующую ситуацию: кубик бросают три раза подряд, и нас интересует определение пространства образца для этого эксперимента. Обратите внимание, что записать все возможности - это уже не простая задача, нам нужно использовать фундаментальный принцип подсчета (PFC). Событие может быть выполнено в три этапа, в каждом из которых у нас есть шесть возможностей, так как кубик имеет шесть граней, например:

1 этап → шесть возможностей

2 этап → шесть возможностей

3 этап → шесть возможностей

По PFC мы имеем, что общее количество возможностей составляет:

6 · 6 · 6

216

Таким образом, мы можем сказать, что выборка этого события составляет 216.

Посмотрите, что для изучения вероятности это необходимы базовые знания комбинаторного анализа., потому что без определения выборочного пространства эксперимента невозможно решить подавляющее большинство вероятностных упражнений. Больше подробностей об этой области математики прочтите текст:Вероятность.

Комбинаторный анализ также связан с изучением биномов.

решенные упражнения

Вопрос 1 - Определите количество анаграмм слова замок. Затем определите количество анаграмм, начинающихся с буквы c.

разрешение

Чтобы определить количество анаграмм, мы должны вычислить перестановку количества букв, например:

п₇ = 7!

п₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

п₇ = 5040

В слове 5040 анаграмм. Теперь, чтобы определить количество анаграмм, которые начинаются с буквы c, мы должны зафиксировать букву и вычислить анаграммы остальных, см.:

Ç__ __ __ __ __ __

Когда мы зафиксируем букву c, обратите внимание, что осталось шесть полей для вычисления перестановки, например:

п₆ = 6!

п₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

п₆ = 720

Итак, у нас есть 720 анаграмм слова «замок», которые начинаются на букву c.

вопрос 2 - В классе пять мужчин и семь женщин. Сколько групп из трех мужчин и четырех женщин можно сформировать?

разрешение

Во-первых, убедитесь, что порядок, в котором мы выбираем людей, не имеет значения, например, группа, сформированная Жуаном, Маркос и Хосе - это одна и та же группа, образованная Маркосом, Жоао и Хосе, поэтому мы должны использовать комбинацию для расчет.

Рассчитаем отдельно количество групп, которые могут быть образованы мужчинами и женщинами, а в Затем давайте умножим эти результаты, потому что каждая группа мужчин может смешиваться с каждой группой женщины.

Мужчины

Итого → 5

Кол-во в группе → 3