понимание наборы является основной базой для изучения алгебра и концепции, имеющие большое значение в математике, такие как функции и неравенство. Обозначение, которое мы используем для наборов, всегда является прописной буквой нашего алфавита (например, набор A или набор B).
С точки зрения представление множеств, это может быть сделано Диаграмма Венна, просто описывая характеристики его элементов, перечисляя элементы или описывая их свойства. При работе с задачами, включающими наборы, бывают ситуации, требующие выполнения операции между наборами, являясь союзом, пересечением и различием. Собираемся ли мы все это подробно изучать?
Смотри тоже: Числовые выражения - научитесь их решать!
Обозначения и представление множеств
Для представления множества мы всегда используем заглавная буква алфавита, а элементы всегда находятся между ключи и разделяются запятой. Например, чтобы представить набор четных чисел больше 1 и меньше 20, мы используем следующие обозначения: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Формы представления множеств
представление перечислением: мы можем перечислить его элементы, то есть составить список, всегда в фигурных скобках. См. Пример:
A = {1,5,9,12,14,20}
описание особенностей: мы можем просто описать характеристику множества. Например, пусть X - множество, у нас есть, что X = {x - положительное число, кратное 5}; Y: набор месяцев в году.
Диаграмма Венна: наборы также могут быть представлены в виде диаграммы, известной как Диаграмма Венна, что является более эффективным представлением для выполнения операций.
Пример:
Учитывая множество A = {1,2,3,4,5}, мы можем представить его на следующей диаграмме Венна:
Элементы набора и отношения членства
Для любого элемента мы можем сказать, что элемент принадлежит к набору или не принадлежит к этому набору. Чтобы быстрее представить эти отношения членства, мы используем символы
(читается как принадлежащий) и ∉ (читается как не принадлежащий). Например, пусть P будет набором парные числа, можно сказать, что 7 ∉ P и 12 П.
Равенство множеств
Сравнение между наборами неизбежно, поэтому мы можем сказать, что два набора равны или нет, проверяя каждый из его элементов. Пусть A = {0,1,3,4,8} и B = {8,4,3,1,0}, даже если элементы находятся в разном порядке, мы можем сказать, что множества A и B равны: А = Б.
Отношения включения
При сравнении двух наборов мы можем встретить несколько отношений, и одно из них - отношение включения. Для этого отношения нам нужно знать некоторые символы:
⊃ → содержит ⊂→ содержится
⊅ → не содержит ⊄→не содержится
Совет: открытая сторона символа всегда будет обращена к большему набору. |
Когда все элементы множества A также принадлежат множеству B, мы говорим, что A ⊂ B или что A содержится в B. Например, A = {1,2,3} и B = {1,2,3,4,5,6}. Также возможно выполнить представление Диаграмма Венна, это будет выглядеть так:
A содержится в B:
A ⊂ B
Подмножества
Когда отношения включения, то есть множество A содержится в множестве B, можно сказать, что A является подмножеством B. Подмножество остается набором, а набор может иметь несколько подмножеств, построенный из принадлежащих ему элементов.
Например: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} имеет подмножества B: {1,2,3}; С: {1,3,5,7}; D: {1} и даже множество A {1,2,3,4,5,6,7,8}, то есть A является подмножеством самого себя.
унитарный набор
Как уже следует из названия, именно этот набор имеет только один элемент, как и набор D: {1}, показанный ранее. Учитывая набор B: {1,2,3}, у нас есть подмножества {1}, {2} и {3}, которые все являются единичными наборами.
ВНИМАНИЕ: Набор E: {0} также является унитарным набором, поскольку он имеет единственный элемент, «0», и это не пустой набор.
Читайте тоже: Набор целых чисел - элементы и характеристики
пустой набор
С еще более привлекательным названием пустой набор не имеет элементов и является подмножеством любого набора. Для представления пустого набора есть два возможных представления, это V: {} или символ Ø.
Наборы деталей
Мы знаем как наборы частей все возможные подмножества данного набора. Пусть A: {1,2,3,4}, мы можем перечислить все подмножества этого множества A, начиная с наборов, которые не имеют элементов (пустые), а затем те, которые содержат один, два, три и четыре элемента, соответственно.
пустой набор: { };
Наборы единиц: {1}; {2};{3}; {4}.
Наборы с двумя элементами: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
наборы с тремя элементами: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Набор из четырех элементов: {1,2,3,4}.
Следовательно, мы можем описать множество частей A следующим образом:
П: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Чтобы узнать, на сколько частей можно разделить набор, воспользуемся формулой:
n [P (A)] = 2нет
Количество частей A рассчитывается потенция база 2 повышена до нет, На что нет количество элементов в наборе.
Рассмотрим множество A: {1,2,3,4}, которое состоит из четырех элементов. Сумма возможных подмножеств этого набора равна 24 =16.
Читайте тоже: Что такое набор иррациональных чисел?
Конечное и бесконечное множество
При работе с наборами мы находим наборы, которые ограниченный (конечный) и те, кто неограниченный (бесконечный). Набор четные или нечетные числа, например, бесконечен, и для его представления мы последовательно описываем некоторые из его элементов: чтобы можно было предсказать, какими будут следующие элементы, и мы помещаем эллипсы в Финал.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
П: {2,4,6,8,10, ...}
Однако в конечном наборе мы не помещаем эллипсы в конец, поскольку у него есть определенные начало и конец.
А: {1,2,3,4}.
набор вселенной
О набор вселенной, обозначаемый U, определяется как набор, состоящий из всех элементов, которые необходимо учитывать в задаче. Каждый элемент принадлежит набору юниверса, и каждый набор содержится в наборе юниверса.
Операции с множествами
Операции с множествами: объединение, пересечение и разность.
Пересечение множеств
Пересечение происходит, когда элементы одновременно принадлежат одному или нескольким наборам. При написании A∩B мы ищем элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
Пример:
Рассмотрим A = {1,2,3,4,5,6} и B = {2,4,6,7,8}, элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B: A∩B = {2, 4,6}. Представление этой операции сделано следующим образом:
A∩B
Когда наборы не имеют общих элементов, они известны как непересекающиеся множества.
A∩B = Ø
разница между наборами
рассчитать разница между двумя наборами заключается в поиске элементов, принадлежащих только одному из двух наборов. Например, A - B имеет в качестве ответа набор, состоящий из элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.
Пример: A: {1,2,3,4,5,6} и B: {2,4,6,7,8}. Обратите внимание, что A ∩ B = {2,4,6}, поэтому имеем:
а) А - В = {1,3,5}
б) B - A = {7,8}
Единство
Объединение двух или более наборов - это присоединяясь к вашим условиям. Если есть элементы, которые повторяются в обоих наборах, они записываются только один раз. Например: A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,6,7,10,14}. Чтобы представить объединение, мы используем символ (читается: объединение с B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Чтобы узнать больше об этих операциях и проверить несколько решенных упражнений, прочтите: Операции с множествами.
Законы Моргана
Пусть A и B - два множества, а U - множество вселенной, есть два свойства, которые задаются законами Моргана, а именно:
(А И Б)ç = Аç ∩Bç
(А ∩ В)ç = Аç U Bç
Пример:
Учитывая наборы:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Давайте проверим, что (A U B)ç = Аç ∩Bç. Итак, нам необходимо:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Следовательно, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Чтобы проверить истинность равенства, проанализируем операцию Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Потом, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(А И Б)ç = Аç ∩Bç
решенные упражнения
01) Рассмотрим U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} и B: {4,5,6, 7,8,9}. Покажем, что (A ∩ B)ç = Аç U Bç.
Разрешение:
1 шаг: найти (A ∩ B)ç. Для этого имеем A ∩ B = {4,5,6}, поэтому (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2-й шаг: найтиç U Bç. THEç: {7,8,9,10} и Bç: {1,2,3,10}, поэтому Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Показано, что (A ∩ B)ç = Аç U Bç.
02) Зная, что A - это набор четных чисел от 1 до 20, какое общее количество подмножеств мы можем построить из элементов этого набора?
Разрешение:
Пусть P будет описанным множеством, мы имеем P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Следовательно, количество элементов P равно 10.
Согласно теории множеств частей, количество возможных подмножеств P равно:
210=1024
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
