О План Аргана-Гаусса он состоит из двух осей: одной вертикальной (известной как мнимая ось) и одной горизонтальной (известной как действительная ось). Это возможно геометрически представлять комплексные числакоторые находятся в алгебраической форме.
Благодаря этому геометрическому представлению возможно разработать некоторые концепции, такие как модуль и аргумент комплексного числа. Комплексные числа представлены алгебраически как z = a + bi, поэтому они представлены точками (a, b), что называется аффиксом.
Читайте тоже: Геометрическое представление суммы комплексных чисел
Геометрическое представление комплексных чисел
Комплексная плоскость, также известная как плоскость Аргана-Гаусса, является не чем иным, какДекартова плоскость для комплексных чисел. На плоскости Аргана-Гаусса комплексное число можно представить в виде точки, известной как аффикс. При разработке комплексного плана появляется развитие аналитическая геометрия для комплексных чисел, что позволяет разрабатывать важные концепции, такие как модуль и аргумент.
Комплексное число, представленное в его алгебраической форме, есть г = а + би, На что В это настоящая часть и B это мнимая часть. Следовательно, комплексные числа представлены точкой (a, b). В плоскости Аргана-Гаусса горизонтальная ось является осью действительной части, а вертикальная ось - осью мнимой части.
Аффикс
О точка на плоскости, представляющая комплексное число его еще называют аффиксом. Возможны три случая представления: воображаемые аффиксы, реальные аффиксы и чисто воображаемые аффиксы.
воображаемые аффиксы
Аффикс называется мнимым, если комплексное число имеет как действительная часть и мнимая часть ненулевые. В этом случае аффикс - это точка в любом из четырех квадрантов, в зависимости от значений a, b и их соответствующих знаков.
Пример:
См. Представление комплексных чисел z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i и z4= 1 - 4i.
Смотрите также: Свойства, содержащие комплексные числа
чисто воображаемые аффиксы
Комплексное число известно как чисто мнимое, когда твоя реальная часть равна нулю, то есть z = bi. Обратите внимание, что в этом случае первая координата всегда равна нулю, поэтому давайте работать с точками типа (0, b). При нанесении меток на плоскости Аргана-Гаусса всегда используется чисто воображаемый аффикс. будет точкой, принадлежащей мнимой оси, то есть к вертикальной оси.
Пример:
См. Представление комплексных чисел z1 = 2i и z2= -3i.
настоящие аффиксы
Комплексное число классифицируется как настоящий номерКогда ваш мнимая часть равна нулю, то есть z = a. В этом случае вторая координата всегда равна нулю, поэтому мы будем работать с точками типа (a, 0), поэтому мнимая часть равна нулю, а аффиксы находятся на действительной оси комплексной плоскости.
Пример:
См. Представление комплексных чисел z1 = 2 и z2 = -4.
Модуль комплексных чисел
При представлении комплексного числа пусть P (a, b) будет аффиксом комплексного числа z = a + bi. Мы знаем модуль комплексного числа a расстояние от точки P до начала координат. Модуль комплексного числа z представлен как | z |. Чтобы найти значение | z |, мы используем теорема Пифагора.
| z | ² = a² + b²
Мы также можем представить:
Пример:
Вычислите модуль комплексного числа z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Также доступ: Что такое рациональные числа?
аргумент комплексного числа
Мы знаем как аргумент комплексного числа О угол θ, образованный вектором OP и действительной осью. Аргумент числа представлен как arg (z) = θ.
Чтобы найти угол, мы используем тригонометрические соотношения синус и косинус.
Чтобы найти значение аргумента, зная синус и косинус, просто обратитесь к таблице значений этих тригонометрических соотношений. Обычно на вступительных экзаменах по этой теме в качестве аргумента замечательный угол.
Пример:
Найдите аргумент комплексного числа z = 1 + i.
Сначала вычислим модуль z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Зная | z |, мы можем вычислить синус и косинус угла.
Угол, который имеет синус и косинус с найденными значениями, составляет 45º.
решенные упражнения
Вопрос 1 - Каков аргумент комплексного числа z = √3 + i?
А) 30-е
Б) 45-я
В) 60-е
D) 90º
E) 120-я
разрешение
Альтернатива C.
Мы знаем, что a = √3 и b = 1, поэтому:
Вопрос 2 - В следующем комплексном плане представлены некоторые числа. Анализируя план, можно сказать, что точки являются представлениями чисто мнимых чисел:
А) М, Н и Я.
Б) П и I.
В) L и G.
Г) О, Я, Г.
E) K, J и L.
разрешение
Альтернатива Б.
Чтобы идентифицировать чисто мнимое число в комплексной плоскости, необходимо, чтобы оно находилось на вершине вертикальной оси, которой в данном случае являются точки P и I.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm