Плоскость Аргана-Гаусса (комплексная плоскость)

О План Аргана-Гаусса он состоит из двух осей: одной вертикальной (известной как мнимая ось) и одной горизонтальной (известной как действительная ось). Это возможно геометрически представлять комплексные числакоторые находятся в алгебраической форме.

Благодаря этому геометрическому представлению возможно разработать некоторые концепции, такие как модуль и аргумент комплексного числа. Комплексные числа представлены алгебраически как z = a + bi, поэтому они представлены точками (a, b), что называется аффиксом.

Читайте тоже: Геометрическое представление суммы комплексных чисел

Геометрическое представление комплексных чисел

Представление комплексных чисел на плоскости Аргана-Гаусса
Представление комплексных чисел на плоскости Аргана-Гаусса

Комплексная плоскость, также известная как плоскость Аргана-Гаусса, является не чем иным, какДекартова плоскость для комплексных чисел. На плоскости Аргана-Гаусса комплексное число можно представить в виде точки, известной как аффикс. При разработке комплексного плана появляется развитие аналитическая геометрия для комплексных чисел, что позволяет разрабатывать важные концепции, такие как модуль и аргумент.

Комплексное число, представленное в его алгебраической форме, есть г = а + би, На что В это настоящая часть и B это мнимая часть. Следовательно, комплексные числа представлены точкой (a, b). В плоскости Аргана-Гаусса горизонтальная ось является осью действительной части, а вертикальная ось - осью мнимой части.

Аффикс

О точка на плоскости, представляющая комплексное число его еще называют аффиксом. Возможны три случая представления: воображаемые аффиксы, реальные аффиксы и чисто воображаемые аффиксы.

  • воображаемые аффиксы

Аффикс называется мнимым, если комплексное число имеет как действительная часть и мнимая часть ненулевые. В этом случае аффикс - это точка в любом из четырех квадрантов, в зависимости от значений a, b и их соответствующих знаков.

Пример:

См. Представление комплексных чисел z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i и z4= 1 - 4i.

brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-geometria-analitica.htm

Смотрите также: Свойства, содержащие комплексные числа

  • чисто воображаемые аффиксы

Комплексное число известно как чисто мнимое, когда твоя реальная часть равна нулю, то есть z = bi. Обратите внимание, что в этом случае первая координата всегда равна нулю, поэтому давайте работать с точками типа (0, b). При нанесении меток на плоскости Аргана-Гаусса всегда используется чисто воображаемый аффикс. будет точкой, принадлежащей мнимой оси, то есть к вертикальной оси.

Пример:

См. Представление комплексных чисел z1 = 2i и z2= -3i.

  • настоящие аффиксы

Комплексное число классифицируется как настоящий номерКогда ваш мнимая часть равна нулю, то есть z = a. В этом случае вторая координата всегда равна нулю, поэтому мы будем работать с точками типа (a, 0), поэтому мнимая часть равна нулю, а аффиксы находятся на действительной оси комплексной плоскости.

Пример:

См. Представление комплексных чисел z1 = 2 и z2 = -4.

Модуль комплексных чисел

При представлении комплексного числа пусть P (a, b) будет аффиксом комплексного числа z = a + bi. Мы знаем модуль комплексного числа a расстояние от точки P до начала координат. Модуль комплексного числа z представлен как | z |. Чтобы найти значение | z |, мы используем теорема Пифагора.

| z | ² = a² + b²

Мы также можем представить:

Пример:

Вычислите модуль комплексного числа z = 12 -5i.

| z | ² = 12² + (-5) ²

| z | ² 144 + 25

| z | ² = 169

| z | = √169

| z | = 13

Также доступ: Что такое рациональные числа?

аргумент комплексного числа

Мы знаем как аргумент комплексного числа О угол θ, образованный вектором OP и действительной осью. Аргумент числа представлен как arg (z) = θ.

Чтобы найти угол, мы используем тригонометрические соотношения синус и косинус.

Чтобы найти значение аргумента, зная синус и косинус, просто обратитесь к таблице значений этих тригонометрических соотношений. Обычно на вступительных экзаменах по этой теме в качестве аргумента замечательный угол.

Пример:

Найдите аргумент комплексного числа z = 1 + i.

Сначала вычислим модуль z.

| z | ² = 1² + 1²

| z | ² = 1 + 1

| z | ² = 2

| z | = √2

Зная | z |, мы можем вычислить синус и косинус угла.

Угол, который имеет синус и косинус с найденными значениями, составляет 45º.

решенные упражнения

Вопрос 1 - Каков аргумент комплексного числа z = √3 + i?

А) 30-е

Б) 45-я

В) 60-е

D) 90º

E) 120-я

разрешение

Альтернатива C.

Мы знаем, что a = √3 и b = 1, поэтому:

Вопрос 2 - В следующем комплексном плане представлены некоторые числа. Анализируя план, можно сказать, что точки являются представлениями чисто мнимых чисел:

А) М, Н и Я.

Б) П и I.

В) L и G.

Г) О, Я, Г.

E) K, J и L.

разрешение

Альтернатива Б.

Чтобы идентифицировать чисто мнимое число в комплексной плоскости, необходимо, чтобы оно находилось на вершине вертикальной оси, которой в данном случае являются точки P и I.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm

Ознакомьтесь с новым значением, ожидаемым для минимальной заработной платы в 2023 году

Мы только на полпути к 2022 году, но дискуссии о минимальная заработная плата на 2023 год уже нах...

read more
Задача: Сможете ли вы найти Плутона с гримасой за 15 секунд?

Задача: Сможете ли вы найти Плутона с гримасой за 15 секунд?

Одна из самых известных мультяшных собак, Плутон, собачий друг Микки Мауса, появляется на изображ...

read more

Узнайте, как ваша диета может предотвратить такие болезни, как депрессия

Сбалансированное и здоровое питание положительно влияет на наши эмоции так же, как и на наше тело...

read more