Мотивация к изучению операции между наборами происходит из-за легкости, которую они вносят в решение повседневных числовых задач. Мы будем использовать некоторые графические инструменты, такие как Диаграмма Венна-Euler, чтобы определить основные операции между двумя или более наборы, а именно: объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств и дополнительное множество.
объединение множеств
Объединение двух или более наборов будет новым набором, состоящим из элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из рассматриваемых наборов. Формально набор объединений определяется следующим образом:
Пусть A и B - два множества, объединение между ними образовано элементами, принадлежащими множеству A или множеству B.
Другими словами, просто присоединяйся к элементам из A с таковыми из B.
Пример:
а) Рассмотрим множества A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
б) A = {x | x - натуральное четное число} и B {y | y - натуральное нечетное число}
Объединение всех натуральных чисел и всех естественных коэффициентов дает полный набор натуральных чисел, поэтому мы должны:
Пересечение множеств
На пересечении двух или более наборов также будет новый набор, образованный элементы, которые принадлежат, в то же время, ко всем задействованным множествам. Формально имеем:
Пусть A и B - два множества, пересечение между ними образовано элементами, принадлежащими множеству A и множеству B. Таким образом, мы должны рассматривать только элементы, которые есть в обоих наборах.
Пример
а) Рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} и C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Набор, не имеющий элементов, называется пустой набор и это можно представить двумя способами.
Читайте тоже: Установить определение
разница наборов
Разница между двумя наборами, A и B, определяется элементами, принадлежащими A и нет принадлежат Б.
На диаграмме Венна-Эйлера разница между множествами A и B такова:
Пример
Рассмотрим множества A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} и C = {}. Определим следующие отличия.
А - В = {5}
А - С = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Обратите внимание, что в наборе A - B мы изначально берем набор A и «вынимаем» элементы из набора B. В наборе A - C берем A и «вынимаем» пустоту, то есть никаких элементов. Наконец, в C - A мы берем пустой набор и «вынимаем» элементы из A, которых, в свою очередь, уже не было.
Читайте тоже: Важные сведения о наборах
Дополнительные наборы
Рассмотрим множества A и B, где множество A содержится в множестве B, то есть каждый элемент A также является элементом B. Разница между множествами B - A называется дополнением к A относительно B. Другими словами, дополнительный образован каждым элементом, который не принадлежит множеству A по отношению к множеству B, в котором он содержится.
Пример
Рассмотрим множества A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Дополнение A по отношению к B:
решенные упражнения
Вопрос 1 - Рассмотрим множества A = {a, b, c, d, e, f} и B = {d, e, f, g, h, i}. Определите (A - B) U (B - A).
Решение
Сначала мы определим множества A - B и B - A, а затем выполним объединение между ними.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Следовательно, (A - B) U (B - A) есть:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
вопрос 2 - (Vunesp) Предположим, что A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} и A - B = {a, b, c}, тогда:
а) B = {f, g, h}
б) B = {d, e, f, g, h}
в) B = {}
г) B = {d, e}
д) B = {a, b, c, d, e}
Решение
Альтернатива b.
Расставляя элементы на диаграмме Венна-Эйлера, согласно утверждению, мы имеем:
Следовательно, множество B = {d, e, f, g, h}.
Робсон Луис
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
