Обратная функция: что это, график, упражнения

В обратная функция, как следует из названия, это функция f (x)^-1, что делает в точности обратную функцию f (x). Чтобы функция поддерживала инверсию, она должна быть биектор, то есть инжектор и сюръектор одновременно. Закон образования обратной функции действует противоположно тому, что делает функция f (x).

Например, если функция принимает значение из домен и добавляет 2, обратная функция вместо сложения вычитает 2. Найти закон образования обратной функции это не всегда простая задача, так как необходимо инвертировать неизвестные x и y, а также изолировать y в новом уравнении.

Читайте тоже:Функция - все, что вам нужно знать, чтобы овладеть предметом

Когда функция поддерживает инверсию?

Графическое представление функции и обратной функции.

Роль обратимый, то есть имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда она биектор. Важно помнить, что за биекторная функция, которая является функцией инжектор, то есть каждому элементу изображения соответствует один домен. Это означает, что разные элементы в наборе A должны быть связаны с разными элементами в набор B, то есть не может быть двух или более элементов набора A, которые имеют одинаковое соответствие в набор Б.

Роль сюръективный если изображение равно контрдомену, то есть в наборе B нет элемента, с которым не связан элемент в наборе A.

Пусть функция f: A → B, где A - область, а B - встречная область, обратной функцией f будет функция, описываемая f^-1 : B → A, то есть домен и контрдомен инвертированы.

Пример:

Функция f: A → B биективна, поскольку она инъективна (в конце концов, различные элементы в A связаны с различных элементов в B), и это также сюръективно, поскольку в множестве B не осталось элементов, то есть встречный домен такой же, как набор Изображение.

Следовательно, эта функция обратима, а ее обратная функция:

Как определяется закон образования обратной функции?

Чтобы найти закон образования обратной функции, нам потребуется перевернуть неизвестное, то есть заменяя x на y и y на x, а затем выделяя неизвестное y. Для этого важно, чтобы функция была обратимой, то есть бижекторной.

→ Пример 1

Найдите закон образования обратной функции f (x) = x + 5.

Разрешение:

Мы знаем, что f (x) = y, поэтому y = x + 5. Выполняя инверсию x и y, мы найдем следующее уравнение:

х = у + 5

Теперь давайте изолируем y:

- 5 + х = у
у = х - 5

Ясно, что если f (x) прибавляет 5 к значению x, то обратная ей функция f (x) ^{- 1} будет делать наоборот, то есть x минус 5.

→ Пример 2

Учитывая функцию, закон образования которой f (x) = 2x - 3, каков будет закон образования ее обратной?

→ Пример 3

Вычислить закон образования обратной функции y = 2^Икс.

Разрешение:

у = 2^Икс
Замена x на y:
х = 2^у

применение логарифм с обеих сторон:

бревно₂x = журнал₂2^у
бревно₂x = ylog₂2
бревно₂х = у · 1
бревно₂х = у
y = журнал₂Икс

Читайте тоже: Различия между функцией и уравнением

График обратной функции

График обратной функции f ^-1 он всегда будет симметричен графику функции f относительно линии y = x, что позволяет анализировать поведение этих функции, хотя мы не можем описать закон образования обратной функции в некоторых случаях из-за его сложность.

Читайте тоже: Как построить график функции?

решенные упражнения

1) Если f^-1 является обратной функцией f, которая переходит от R к R, закон образования которой f (x) = 2x - 10, численное значение f ^-1(2) é:

к 1

б) 3

в) 6

г) -4

д) -6

разрешение:

→ 1 шаг: найти обратное к f.

→ 2-й шаг: заменить 2 вместо x в f ^-1(Икс).

Альтернатива C.

2) Пусть f: A → B - функция, закон формирования которой f (x) = x² + 1, где A {-2, -1, 0, 1, 2} и B = {1,2,5}, правильно сказать, что:

а) функция обратима, так как биекторная.

б) функция не обратима, так как не является инъекционной.

в) функция не обратима, так как не сюръективна

г) функция не обратима, так как не является ни сюръективной, ни инъекционной.

д) функция не обратима, так как биекторная.

Разрешение:

Чтобы функция была обратимой, она должна быть биективной, то есть сюръективной и инъекционной. Сначала давайте проанализируем, является ли это сюръективным.

Чтобы функция была сюръективной, все элементы B должны иметь аналог в A. Чтобы узнать это, давайте вычислим каждое из его числовых значений.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Обратите внимание, что всем элементам B {1,2,5} соответствует в A, что делает функцию сюръективный.

Чтобы эта функция была инъекционной, элементы, отличные от A, должны иметь разные изображения в B, чего не происходит. Обратите внимание, что f (-2) = f (2), а также f (-1) = f (1), что делает функцию не делай инъекций. Поскольку это не инжектор, он также не обратимый; следовательно, альтернатива b.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm