Решать системылинейный это очень повторяющаяся задача для исследований в области естественных наук и математики. Поиск неизвестных значений привел к развитию методов решения линейных систем, таких как метод сложения, равенства и подстановки для систем, которые имеют два уравнения и два неизвестных, а также правило Краммера и масштабирование, которые решают линейные системы двух уравнений, но которые более удобны для систем с большим количеством уравнений. Линейная система - это набор из двух или более уравнений с одним или несколькими неизвестными.
Читайте тоже:Какая связь между матрицами и линейными системами?
линейное уравнение
Работа с уравнениями существует благодаря нужно найти неизвестные неизвестные значения. Мы называем это уравнением, когда у нас есть алгебраическое выражение с равенством, и оно классифицируется как линейное, когда наибольший показатель его неизвестных равен 1, как показано в следующих примерах:
2x + y = 7 → линейное уравнение с двумя неизвестными
a + 4 = -3 → линейное уравнение с одной неизвестной
Вообще говоря, линейное уравнение можно описать следующим образом:
В1Икс1 +2Икс2 + a3x3... + aнетИкснет = c
Мы знаем как систему уравнений, когда существует более одного линейного уравнения. Начнем с линейных систем двух неизвестных.
Решение линейных систем
Линейные системы с двумя уравнениями 1-й степени и двумя неизвестными
Для решения системы двух уравнений и двух неизвестных существует несколько методы, наиболее известны три:
- метод сравнения
- метод сложения
- метод замены
Любой из трех может решить линейную систему из двух уравнений и двух неизвестных. Эти методы не так эффективны для систем с большим количеством уравнений, так как есть другие конкретные методы их решения.
Метод замены
Метод замены состоит из изолировать одно из неизвестных в одном из уравнений и выполнить замену в другом уравнении.
Пример:
1 шаг: изолировать одно из неизвестных.
Мы называем I первым уравнением, а II - вторым уравнением. Анализируя два, давайте выберите неизвестное, которое легче всего изолировать. Обратите внимание, что в уравнение I → x + 2y = 5, x не имеет коэффициента, что упрощает выделение, поэтому мы перепишем уравнение, которое мне нравится:
Я → х + 2у = 5
Я → х = 5 - 2у
2-й шаг: заменить I на II.
Теперь, когда у нас есть уравнение I только с x, в уравнении II мы можем заменить x на 5 - 2y.
II → 3х - 5у = 4
Замена x на 5 - 2y:
3 (5 - 2 года) - 5 лет = 4
Теперь, когда уравнение имеет только одно неизвестное, его можно решить, чтобы найти значение y.
Зная значение y, мы найдем значение x, заменив значение y в уравнении I.
Я → х = 5 - 2у
х = 5 - 2 · 1
х = 5 - 2
х = 3
Итак, решение системы S = {3,1}.
Метод сравнения
Метод сравнения состоит из выделить неизвестное в двух уравнениях и уравнять эти значения.
Пример:
1 шаг: пусть I будет первым уравнением, а II - вторым, давайте выделим одно из неизвестных в I и II. Выбирая изолирование неизвестного x, мы должны:
2-й шаг: приравняем два новых уравнения, поскольку x = x.
3 шаг: замените значение y на -2 в одном из уравнений.
х = -4 - 3 года
х = -4 - 3 (-2)
х = -4 + 6
х = 2
Таким образом, решением этой системы является множество S = {2, -2}.
Смотрите также: В чем разница между функцией и уравнением?
метод сложения
Метод сложения заключается в умножении всех членов одного из уравнений таким образом, чтобы при добавляя уравнение I к уравнению II, одно из его неизвестных равно нулю.
Пример:
1 шаг: умножьте одно из уравнений так, чтобы коэффициенты были противоположными.
Обратите внимание, что если мы умножим уравнение II на 2, мы получим 4y в уравнении II и -4y в уравнении I, и что на мы складываем I + II, получаем 0y, поэтому давайте умножим все члены в уравнении II на 2, чтобы это случаться.
Я → 5х - 4у = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2-й шаг: выполнить сумму I + 2 · II.
3 шаг: заменить значение x = 3 в одно из уравнений.
Линейные системы с тремя уравнениями 1-й степени и тремя неизвестными
Когда в системе есть три неизвестных, мы применяем другие методы решения. Все эти методы связывают коэффициенты с матрицами, и наиболее часто используемые методы - это правило Краммера или масштабирование. Для разрешения в обоих методах необходимо матричное представление системы, даже система 2x2 может быть представлена с помощью матрицы. Есть два возможных представления, полная матрица и неполная матрица:
Пример:
Система
Может быть представлен полная матрица
И для неполная матрица
Правило Краммера
Чтобы найти решения для системы 3x3 с неизвестными x, y и z, используя Правило Краммера, необходимо вычислить определитель неполной матрицы и ее вариации. Итак, мы должны:
D → определитель неполной матрицы системы.
DИкс → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец x на столбец независимых членов.
Dу → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец y на столбец независимых членов.
Dz → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец z на столбец независимых членов.
Итак, чтобы найти значение ваших неизвестных, нам сначала нужно вычислить детерминант D, DИкс, Dу связанный с системой.
Пример:
1 шаг: вычислить D.
2-й шаг: рассчитать DИкс.
3 шаг: тогда мы можем найти значение x, потому что:
4-й шаг: вычислить Dу.
5 шаг: тогда мы можем вычислить значение y:
6 шаг: Теперь, когда мы знаем значения x и y, в любой строке мы можем найти значение z, подставив значение x и y и изолировав z. Другой вариант - вычислить Dz.
Подставляя x = 0 и y = 2 в первое уравнение:
2х + у - г = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
г = -1
Следовательно, системным решением является тендер (0,2, -1).
Также доступ: Решение задач с помощью систем уравнений
масштабирование
Другой метод решения линейных систем - масштабирование, в котором мы используем только полную матрицу и операции между линиями, чтобы изолировать их неизвестные. Давайте масштабируем систему ниже.
1 шаг: напишите полную матрицу, представляющую систему.
быть L1, L2 и я3 соответственно строки 1, 2 и 3 матрицы, будем выполнять операции между L1 и я2 и я1 и я3, так что в результате члены в первом столбце второй и третьей строки будут равны нулю.
Анализируя вторую строку матрицы, заменим ее результатом L2 → -2 · L1 + L2, чтобы обнулить член a21.
В21 = -2 · 1 + 2 = 0
В22 = -2 · 2 + 1 = -3
В23 = -2 · (-3) + 1 = 7
В24 =-2 · 10 + 3 = -17
Итак, L2 будет 0-3 7-17.
Анализируя третью строку матрицы, заменим ее результатом L3 → 3L1 + L2, чтобы сбросить срок на31.
В31 = 3 · 1 – 3 = 0
В32 = 3 · 2 + 2 = 8
В33 = 3 · (-3) +1 = -8
В34 = 3 · 10 – 6 = 24
Итак, L3 будет 0 8-8 24.
Обратите внимание, что все они делятся на 8, так что строка L3 будьте проще, давайте разделим его на 8.
L3 → L3 : 8 будет: 0 1-1 3.
Итак, новая матрица масштабированного уравнения будет:
Теперь цель - сбросить столбец y в третьей строке, мы будем выполнять операции между L2 и я3, с целью сброса второго столбца одного из них.
Заменим L3 на L3 → L2 + 3л3.
В31 = 0 + 3 · 0 = 0
В32 = -3 + 3 · 1 = 0
В33 = 7 + 3 · (-1) = 4
В34 = -17 + 3 · 3 = -8
Итак, L3 будет: 0 0 4 -8.
Новая масштабированная матрица будет:
Теперь, когда мы снова представим эту матрицу как систему, добавив x, y и z к столбцам, мы обнаружим следующее:
Затем мы можем найти значение каждого из неизвестных. Анализируя уравнение III, мы должны:
Если z = -2, давайте подставим значение z во второе уравнение:
Наконец, в первом уравнении давайте подставим значения y и z, чтобы найти значение x.
Смотрите также: Система неравенства 1-й степени - как ее решить?
классификация линейных систем
Линейная система - это набор линейных уравнений, в которых может быть несколько неизвестных и несколько уравнений. Есть несколько методов ее решения, независимо от количества уравнений. есть три рейтинги для линейной системы.
- Определяется возможная система (СПД): когда у вас есть единственное решение.
- Неопределенная возможная система (SPI): когда у него бесконечное количество решений.
- невозможная система(SI): когда нет решения.
решенные упражнения
Вопрос 1 (IFG 2019) Рассмотрим сумму измерений основания и высоты относительно этого основания треугольника, равную 168 см, и разницу, равную 24 см. Правильно утверждать, что размеры основания и высоты относительно этого основания измеряют соответственно:
а) 72 см и 96 см
б) 144 см и 24 см
в) 96 см и 72 см
г) 24 см и 144 см
разрешение
Альтернатива C.
Пусть h → height и b → base, тогда мы имеем следующую систему:
По способу сложения мы должны:
Чтобы найти значение h, подставим b = 96 см в первое уравнение:
б + в = 168
96 + в = 168
в = 168 - 96
h = 72 см
вопрос 2 Неполная матрица, представляющая следующую линейную систему:
разрешение
Альтернатива C.
Неполная матрица - это матрица, которая имеет коэффициенты x, y и z, поэтому это будет матрица 3x3. Анализируя альтернативы, та, которая содержит матрицу 3x3 с правильными знаками, - это буква C.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
