Линейные системы: что это такое, как решать, виды

Решать системылинейный это очень повторяющаяся задача для исследований в области естественных наук и математики. Поиск неизвестных значений привел к развитию методов решения линейных систем, таких как метод сложения, равенства и подстановки для систем, которые имеют два уравнения и два неизвестных, а также правило Краммера и масштабирование, которые решают линейные системы двух уравнений, но которые более удобны для систем с большим количеством уравнений. Линейная система - это набор из двух или более уравнений с одним или несколькими неизвестными.

Читайте тоже:Какая связь между матрицами и линейными системами?

Линейные системы.

линейное уравнение

Работа с уравнениями существует благодаря нужно найти неизвестные неизвестные значения. Мы называем это уравнением, когда у нас есть алгебраическое выражение с равенством, и оно классифицируется как линейное, когда наибольший показатель его неизвестных равен 1, как показано в следующих примерах:

2x + y = 7 → линейное уравнение с двумя неизвестными

a + 4 = -3 → линейное уравнение с одной неизвестной

Вообще говоря, линейное уравнение можно описать следующим образом:

В₁Икс₁ +₂Икс₂ + a3x3... + a_нетИкс_нет = c

Мы знаем как систему уравнений, когда существует более одного линейного уравнения. Начнем с линейных систем двух неизвестных.

Решение линейных систем

• Линейные системы с двумя уравнениями 1-й степени и двумя неизвестными

Для решения системы двух уравнений и двух неизвестных существует несколько методы, наиболее известны три:

• метод сравнения
• метод сложения
• метод замены

Любой из трех может решить линейную систему из двух уравнений и двух неизвестных. Эти методы не так эффективны для систем с большим количеством уравнений, так как есть другие конкретные методы их решения.

• Метод замены

Метод замены состоит из изолировать одно из неизвестных в одном из уравнений и выполнить замену в другом уравнении.

Пример:

1 шаг: изолировать одно из неизвестных.

Мы называем I первым уравнением, а II - вторым уравнением. Анализируя два, давайте выберите неизвестное, которое легче всего изолировать. Обратите внимание, что в уравнение I → x + 2y = 5, x не имеет коэффициента, что упрощает выделение, поэтому мы перепишем уравнение, которое мне нравится:

Я → х + 2у = 5

Я → х = 5 - 2у

2-й шаг: заменить I на II.

Теперь, когда у нас есть уравнение I только с x, в уравнении II мы можем заменить x на 5 - 2y.

II → 3х - 5у = ​​4

Замена x на 5 - 2y:

3 (5 - 2 года) - 5 лет = 4

Теперь, когда уравнение имеет только одно неизвестное, его можно решить, чтобы найти значение y.

Зная значение y, мы найдем значение x, заменив значение y в уравнении I.

Я → х = 5 - 2у

х = 5 - 2 · 1

х = 5 - 2

х = 3

Итак, решение системы S = {3,1}.

• Метод сравнения

Метод сравнения состоит из выделить неизвестное в двух уравнениях и уравнять эти значения.

Пример:

1 шаг: пусть I будет первым уравнением, а II - вторым, давайте выделим одно из неизвестных в I и II. Выбирая изолирование неизвестного x, мы должны:

2-й шаг: приравняем два новых уравнения, поскольку x = x.

3 шаг: замените значение y на -2 в одном из уравнений.

х = -4 - 3 года

х = -4 - 3 (-2)

х = -4 + 6

х = 2

Таким образом, решением этой системы является множество S = {2, -2}.

Смотрите также: В чем разница между функцией и уравнением?

• метод сложения

Метод сложения заключается в умножении всех членов одного из уравнений таким образом, чтобы при добавляя уравнение I к уравнению II, одно из его неизвестных равно нулю.

Пример:

1 шаг: умножьте одно из уравнений так, чтобы коэффициенты были противоположными.

Обратите внимание, что если мы умножим уравнение II на 2, мы получим 4y в уравнении II и -4y в уравнении I, и что на мы складываем I + II, получаем 0y, поэтому давайте умножим все члены в уравнении II на 2, чтобы это случаться.

Я → 5х - 4у = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2-й шаг: выполнить сумму I + 2 · II.

3 шаг: заменить значение x = 3 в одно из уравнений.

• Линейные системы с тремя уравнениями 1-й степени и тремя неизвестными

Когда в системе есть три неизвестных, мы применяем другие методы решения. Все эти методы связывают коэффициенты с матрицами, и наиболее часто используемые методы - это правило Краммера или масштабирование. Для разрешения в обоих методах необходимо матричное представление системы, даже система 2x2 может быть представлена ​​с помощью матрицы. Есть два возможных представления, полная матрица и неполная матрица:

Пример:

Система 

Может быть представлен полная матрица

И для неполная матрица

• Правило Краммера

Чтобы найти решения для системы 3x3 с неизвестными x, y и z, используя Правило Краммера, необходимо вычислить определитель неполной матрицы и ее вариации. Итак, мы должны:

D → определитель неполной матрицы системы.

D_Икс → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец x на столбец независимых членов.

D_у → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец y на столбец независимых членов.

D_z → определитель неполной матрицы системы, заменяя столбец z на столбец независимых членов.

Итак, чтобы найти значение ваших неизвестных, нам сначала нужно вычислить детерминант D, D_Икс, D_у связанный с системой.

Пример:

1 шаг: вычислить D.

2-й шаг: рассчитать D_Икс.

3 шаг: тогда мы можем найти значение x, потому что:

4-й шаг: вычислить D_у.

5 шаг: тогда мы можем вычислить значение y:

6 шаг: Теперь, когда мы знаем значения x и y, в любой строке мы можем найти значение z, подставив значение x и y и изолировав z. Другой вариант - вычислить D_z.

Подставляя x = 0 и y = 2 в первое уравнение:

2х + у - г = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 г = -1

Следовательно, системным решением является тендер (0,2, -1).

Также доступ: Решение задач с помощью систем уравнений

• масштабирование

Другой метод решения линейных систем - масштабирование, в котором мы используем только полную матрицу и операции между линиями, чтобы изолировать их неизвестные. Давайте масштабируем систему ниже.

1 шаг: напишите полную матрицу, представляющую систему.

быть L₁, L₂ и я₃ соответственно строки 1, 2 и 3 матрицы, будем выполнять операции между L₁ и я₂ и я₁ и я₃, так что в результате члены в первом столбце второй и третьей строки будут равны нулю.

Анализируя вторую строку матрицы, заменим ее результатом L2 → -2 · L1 + L2, чтобы обнулить член a21.

В₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

В₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

В₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

В₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Итак, L₂ будет 0-3 7-17.

Анализируя третью строку матрицы, заменим ее результатом L3 → 3L1 + L_2, чтобы сбросить срок на_31.

В₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

В₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

В₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

В₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Итак, L₃ будет 0 8-8 24.

Обратите внимание, что все они делятся на 8, так что строка L₃ будьте проще, давайте разделим его на 8.

L₃ → L₃ : 8 будет: 0 1-1 3.

Итак, новая матрица масштабированного уравнения будет:

Теперь цель - сбросить столбец y в третьей строке, мы будем выполнять операции между L₂ и я₃, с целью сброса второго столбца одного из них.

Заменим L3 на L3 → L₂ + 3л₃.

В₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

В₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

В₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

В₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Итак, L₃ будет: 0 0 4 -8.

Новая масштабированная матрица будет:

Теперь, когда мы снова представим эту матрицу как систему, добавив x, y и z к столбцам, мы обнаружим следующее:

Затем мы можем найти значение каждого из неизвестных. Анализируя уравнение III, мы должны:

Если z = -2, давайте подставим значение z во второе уравнение:

Наконец, в первом уравнении давайте подставим значения y и z, чтобы найти значение x.

Смотрите также: Система неравенства 1-й степени - как ее решить?

классификация линейных систем

Линейная система - это набор линейных уравнений, в которых может быть несколько неизвестных и несколько уравнений. Есть несколько методов ее решения, независимо от количества уравнений. есть три рейтинги для линейной системы.

• Определяется возможная система (СПД): когда у вас есть единственное решение.
• Неопределенная возможная система (SPI): когда у него бесконечное количество решений.
• невозможная система(SI): когда нет решения.

решенные упражнения

Вопрос 1 (IFG 2019) Рассмотрим сумму измерений основания и высоты относительно этого основания треугольника, равную 168 см, и разницу, равную 24 см. Правильно утверждать, что размеры основания и высоты относительно этого основания измеряют соответственно:

а) 72 см и 96 см

б) 144 см и 24 см

в) 96 см и 72 см

г) 24 см и 144 см

разрешение

Альтернатива C.

Пусть h → height и b → base, тогда мы имеем следующую систему:

По способу сложения мы должны:

Чтобы найти значение h, подставим b = 96 см в первое уравнение:

б + в = 168

96 + в = 168

в = 168 - 96

h = 72 см

вопрос 2 Неполная матрица, представляющая следующую линейную систему:

разрешение

Альтернатива C.

Неполная матрица - это матрица, которая имеет коэффициенты x, y и z, поэтому это будет матрица 3x3. Анализируя альтернативы, та, которая содержит матрицу 3x3 с правильными знаками, - это буква C.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm