Теорема о разложении полиномов

Основная теорема алгебры для полиномиальные уравнения гарантирует, что "многочлен каждой степени n≥ 1 имеет хотя бы один сложный корень ". Доказательство этой теоремы было сделано математиком Фридрихом Гауссом в 1799 году. Отсюда мы можем продемонстрировать теорема о полиномиальном разложении, что гарантирует, что любой многочлен можно разложить на множители первой степени. Возьмем следующий многочлен р (х) класса n ≥ 1 инет ≠ 0:

р (х) = анет Икснет +п-1 Иксп-1 +… +1Икс1 +0

С помощью основной теоремы алгебры мы можем утверждать, что этот многочлен имеет по крайней мере один комплексный корень. ты1, так что п (и1) = 0. О Теорема Даламбера к деление многочленов заявляет, что если п (и1) = 0, тогда р (х) делится на (х - и1), что дает частное какие1(Икс), который является полиномом степени (n - 1), что заставляет нас сказать:

р (х) = (х - и1). какие1(Икс)

Из этого уравнения необходимо выделить две возможности:

Если u = 1 а также какие1(Икс) является многочленом степени (п - 1), тогда какие1(Икс)

имеет степень 0. Как доминирующий коэффициент р (х) é Внет, какие1(Икс) - постоянный многочлен типа какие1(Икс)=Внет. Итак, у нас есть:

р (х) = (х - и1). какие1(Икс)
(х) = (х - и1). Внет
р (х) = анет . (х - и1)

Но если u ≥ 2, то многочлен какие1 имеет степень п - 1 ≥ 1 и выполняется основная теорема алгебры. Можно сказать, что многочлен какие1 имеет хотя бы один корень нет2, что приводит нас к выводу, что какие1 можно записать как:

какие1(х) = (х - и2). какие2(Икс)

Но как р (х) = (х - и1). какие1(Икс), мы можем переписать это как:

р (х) = (х - и1). (х - и2). какие2(Икс)

Последовательно повторяя этот процесс, мы получим:

р (х) = анет. (х - и1). (х - и2)… (Х - инет)

Таким образом, мы можем заключить, что любое полиномиальное или полиномиальное уравнение р (х) = 0 класса n≥ 1 владеть точно нет сложные корни.

Пример: Быть р (х) многочлен степени 5, так что его корни – 1, 2, 3, – 2 а также 4. Запишите этот многочлен в разложении на множители 1-й степени, учитывая доминирующий коэффициент равно 1. Это нужно написать в развернутом виде:

если – 1, 2, 3, – 2 а также 4 являются корнями многочлена, поэтому произведение разностей Икс для каждого из этих корней приводит к р (х):

р (х) = анет. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Если доминирующий коэффициент Внет = 1, у нас есть:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4).
р (х) = (х + 1). (х - 2). (х - 3). (х + 2). (х - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
р (х) = (х4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
р (х) = х5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48

Аманда Гонсалвес
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm

Откройте для себя 18 аппетитных типичных французских блюд

Да, вы не так прочитали. Рататуй, помимо персонажа диснеевского фильма, является очень типичным б...

read more
Использовал ли Путин во время президентского визита дублера? Посмотрите, что сказал этот советник

Использовал ли Путин во время президентского визита дублера? Посмотрите, что сказал этот советник

Президент России Владимир Путин подвергается критике за отправку предполагаемого двойника в город...

read more
Гуадалупе Каракара (Polyborus lutosus)

Гуадалупе Каракара (Polyborus lutosus)

О Каракара-де-Гуадалупе(Полибор лютос) была хищной птицей, населявшей Мексика, особенно острова Г...

read more