Основная теорема алгебры для полиномиальные уравнения гарантирует, что "многочлен каждой степени n≥ 1 имеет хотя бы один сложный корень ". Доказательство этой теоремы было сделано математиком Фридрихом Гауссом в 1799 году. Отсюда мы можем продемонстрировать теорема о полиномиальном разложении, что гарантирует, что любой многочлен можно разложить на множители первой степени. Возьмем следующий многочлен р (х) класса n ≥ 1 инет ≠ 0:
р (х) = анет Икснет +п-1 Иксп-1 +… +1Икс1 +0
С помощью основной теоремы алгебры мы можем утверждать, что этот многочлен имеет по крайней мере один комплексный корень. ты1, так что п (и1) = 0. О Теорема Даламбера к деление многочленов заявляет, что если п (и1) = 0, тогда р (х) делится на (х - и1), что дает частное какие1(Икс), который является полиномом степени (n - 1), что заставляет нас сказать:
р (х) = (х - и1). какие1(Икс)
Из этого уравнения необходимо выделить две возможности:
Если u = 1 а также какие1(Икс) является многочленом степени (п - 1), тогда какие1(Икс)
имеет степень 0. Как доминирующий коэффициент р (х) é Внет, какие1(Икс) - постоянный многочлен типа какие1(Икс)=Внет. Итак, у нас есть:р (х) = (х - и1). какие1(Икс)
(х) = (х - и1). Внет
р (х) = анет . (х - и1)
Но если u ≥ 2, то многочлен какие1 имеет степень п - 1 ≥ 1 и выполняется основная теорема алгебры. Можно сказать, что многочлен какие1 имеет хотя бы один корень нет2, что приводит нас к выводу, что какие1 можно записать как:
какие1(х) = (х - и2). какие2(Икс)
Но как р (х) = (х - и1). какие1(Икс), мы можем переписать это как:
р (х) = (х - и1). (х - и2). какие2(Икс)
Последовательно повторяя этот процесс, мы получим:
р (х) = анет. (х - и1). (х - и2)… (Х - инет)
| Таким образом, мы можем заключить, что любое полиномиальное или полиномиальное уравнение р (х) = 0 класса n≥ 1 владеть точно нет сложные корни. |
Пример: Быть р (х) многочлен степени 5, так что его корни – 1, 2, 3, – 2 а также 4. Запишите этот многочлен в разложении на множители 1-й степени, учитывая доминирующий коэффициент равно 1. Это нужно написать в развернутом виде:
если – 1, 2, 3, – 2 а также 4 являются корнями многочлена, поэтому произведение разностей Икс для каждого из этих корней приводит к р (х):
р (х) = анет. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
Если доминирующий коэффициент Внет = 1, у нас есть:
p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4).
р (х) = (х + 1). (х - 2). (х - 3). (х + 2). (х - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
р (х) = (х4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
р (х) = х5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
Аманда Гонсалвес
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm