Умножение матриц: как рассчитать, примеры

THE мумножение матриц выполняется с помощью алгоритма, требующего много внимания. Чтобы продукт между матрицей A и матрицей B существовал, необходимо, чтобы количество столбцы дает первый штаб-квартира, в случае A, равно количеству линии дает понедельник штаб-квартира, в случае Б.

Из умножения матриц можно понять, что такое единичная матрица, то есть нейтральный элемент матричного умножения, и что является обратной матрицей матрицы M, которая является матрицей M^-1 чье произведение M на M^-1 равна единичной матрице. Также возможно умножить матрицу на действительное число - в этом случае мы умножаем каждое из членов штаб-квартира по номеру.

Читайте тоже: Что такое треугольная матрица?

условие существования

Умножение матриц - процесс, требующий большого внимания.

Чтобы перемножить две матрицы, сначала необходимо проверить условие существования. Чтобы продукт существовал, количество столбцов в первой матрице должно равняться количеству строк во второй матрице. Кроме того, результатом умножения является матрица, которая имеет то же количество строк, что и первая матрица, и такое же количество столбцов, как вторая матрица.

Например, произведение AB между матрицами A_3x2 и B_2x5 существует, потому что количество столбцов в A (2 столбца) равно количеству строк в B (2 строки), и результатом является матрица AB_3x5. Уже продукт между матрицами C_3x5 и матрица D_2x5 не существует, поскольку в C 5 столбцов, а в D 3 строки.

Как рассчитать произведение между двумя матрицами?

Чтобы выполнить матричное умножение, необходимо выполнить несколько шагов. Приведем пример умножения алгебраической матрицы A_2x3 по матрице B_3x2

Мы знаем, что продукт существует, потому что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B - 3 строки. Мы будем называть C результатом умножения A · B. Кроме того, мы также знаем, что результатом является матрица C._2x2, потому что матрица A имеет 2 строки, а матрица B - 2 столбца.

Чтобы вычислить произведение матрицы A_2x3 и матрица B_3Икс2, давайте сделаем несколько шагов.

Сначала найдем каждый из членов матрицы C_2x2:

Чтобы найти условия, давайте всегда связывайте строки матрицы A со столбцами матрицы B:

ç₁₁ → 1-я линия А а также 1-й столбец B
ç₁₂ → 1-я линия А а также 2-й столбец B
ç₂₁ → 2-я линия А а также 1-й столбец B
ç₂₂ → 2-я линия А а также 2-й столбец B

Мы вычисляем каждый из членов, умножая члены в строке A и члены в столбце B. Теперь мы должны добавить эти продукты, начиная с ç_11:

1-я линия А
1-й столбец B

ç₁₁ = В₁₁· B₁₁ + В₁₂· B₂₁+ В₁₃· B₃₁

расчет ç₁₂:

1-я линия А
2-й столбец B

ç₁₂ = В₁₁· B₁₂ + В₁₂· B₂₂+В₁₃· B₃₂

расчет ç₂₁:

2-я линия А
1-й столбец B

ç₂₁ = В₂₁· B₁₁ + В₂₂· B₂₁+В₂₃· B₃₁

расчет срока ç₂₂:

2-я линия А
2-й столбец B

ç₂₂ = В₂₁· B₁₂ + В₂₂· B₂₂+В₂₃· B₃₂

Таким образом, матрица C образована слагаемыми:

Пример:

Давайте посчитаем умножение между матрицами A и B.

Мы знаем, что в A_2x2 и B_2x3, количество столбцов в первом равно количеству строк во втором, поэтому продукт существует. Итак, мы сделаем C = A · B, и мы знаем, что C_2x3.

При умножении мы должны:

Смотрите также: Что такое транспонированная матрица?

единичная матрица

В умножении между матрицами есть некоторые особые случаи, такие как единичная матрица, которая является нейтральным элементом умножения между матрицами.. Единичная матрица - это квадратная матрица, то есть количество строк всегда равно количеству столбцов. Кроме того, только члены диагонали в нем равны 1, а все остальные члены равны нулю. Когда мы умножаем матрицу M на единичную матрицу I_нет, Мы должны:

M · I_нет = M

Матрицы идентичности от 2 до 5

Пример:

Что такое обратная матрица?

Учитывая матрицу M, мы знаем ее как обратную матрицу M. матрица M^-1чье произведение M · M^-1 равно à единичная матрица I_нет. Чтобы матрица имела инверсию, она должна быть квадратной, а ее детерминант должно отличаться от 0. Давайте посмотрим на примеры обратных матриц:

Рассчитывая произведение A · B, мы должны:

Обратите внимание, что произведение между A и B сгенерированной матрицей I₂. Когда это происходит, мы говорим, что B - это матрица, обратная к A. Чтобы узнать больше об этом типе матрицы, прочтите: Обратная матрица.

Умножение матрицы на действительное число

В отличие от умножения матриц, существует также умножение матриц на единицу. настоящий номер, что является гораздо более простой операцией для поиска решения.

Учитывая матрицу M, умножая матрицу на действительное число k равна матрице kМ. Чтобы найти эту матрицу kМ, хватит умножьте все члены в матрице на константу k.

Пример:

если k = 5 и учитывая матрицу M ниже, найти матрицу 5M.

Умножение:

решенные упражнения

Вопрос 1 - (Unitau) Для заданных матриц A и B

значение элемента c₁₁ матрицы C = AB составляет:

А) 10.

Б) 28.

В) 38.

Г) 18.

Д) 8.

разрешение

Альтернатива А.

Как нам нужен термин c₁₁, давайте умножим члены в первой строке и A на члены в первом столбце B.

вычисление c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Вопрос 2 - (Enem 2012) Учащийся записывал в таблицу оценки по некоторым предметам каждые два месяца. Он отметил, что числовые записи в таблице образуют матрицу 4 × 4, и что он может рассчитать среднегодовые значения для этих дисциплин, используя произведение матриц. Все тесты имели одинаковый вес, и таблица, которую он получил, представлена ​​ниже.

Чтобы получить эти средние значения, он умножил матрицу, полученную из таблицы, на матрицу:

разрешение

Альтернатива E.

Среднее значение - это не что иное, как сумма элементов, разделенная на количество элементов. Обратите внимание, что в каждой строке 4 ноты, поэтому среднее значение будет суммой этих нот, деленной на 4. Деление на 4 аналогично умножению на доля ¼. Кроме того, матрица оценок представляет собой матрицу 4x4, поэтому мы должны умножить ее на матрицу 4x1, то есть она имеет 4 строки и 1 столбец, чтобы найти матрицу, которая имеет среднее значение оценок.

Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm