Концепция чего-либо обратная матрица очень близко подходит к понятию обратного числа. Напомним, что число, обратное нет это номер нет-1, где произведение между ними равно нейтральному элементу умножение, то есть число 1. Уже матрица, обратная матрице M, - это матрица M-1, где произведение M · M-1 равна единичной матрице Iнет, который является не чем иным, как нейтральным элементом умножения матриц.
Чтобы матрица имела обратную, она должна быть квадратной и, кроме того, ее определитель должен быть отличным от нуля, иначе обратного не будет. Чтобы найти обратную матрицу, воспользуемся матричным уравнением.
Тоже читай: Треугольная матрица - специальный вид квадратной матрицы
единичная матрица
Чтобы понять, что такое обратная матрица, сначала необходимо знать единичную матрицу. Мы знаем как единичную матрицу квадратную матрицу Iнет где все элементы главной диагонали равны 1, а остальные члены равны 0.
THE единичная матрица - нейтральный элемент умножения матриц.
, то есть с учетом штаб-квартира M порядка n, произведение между матрицей M и матрицей Iнет равна матрице M.M · Iнет = M
Как вычислить обратную матрицу
Чтобы найти обратную матрицу M, необходимо решить матричное уравнение:
М · М-1 = Янет
Пример
Найдите обратную матрицу M.
Поскольку нам неизвестна обратная матрица, давайте представим эту матрицу алгебраически:
Мы знаем, что произведение этих матриц должно быть равно I2:
Теперь решим матричное уравнение:
Можно разделить проблему на две системы уравнения. Первый использует первый столбец матрицы M · M-1 и первый столбец единичной матрицы. Итак, нам необходимо:
Чтобы решить систему, давайте выделим21 в уравнение II и подставьте в уравнение I.
Подставляя в уравнение I, мы должны:
Как мы находим ценность11, то найдем значение21:
Зная ценность21 и11, теперь мы найдем значение других терминов, настроив вторую систему:
изоляция22 в уравнении III мы должны:
3-й12 + 1-й22 = 0
В22 = - 3-й12
Подставляя в уравнение IV:
5-й12 + 2-й22 =1
5-й12 + 2 · (- 3-й12) = 1
5-й12 - 6-е12 = 1
- а12 = 1 ( – 1)
В12 = – 1
Зная ценность12, найдем значение22 :
В22 = - 3-й12
В22 = – 3 · ( – 1)
В22 = 3
Теперь, когда мы знаем все члены матрицы M-1, его можно изобразить:
Читайте тоже: Сложение и вычитание матриц
Свойства обратной матрицы
Есть свойства, которые возникают в результате определения обратной матрицы.
- 1-й объект: обратная матрица M-1 равна матрице M. Обратной к обратной матрице всегда является сама матрица, то есть (M-1)-1 = M, поскольку мы знаем, что M-1 · M = Iнет, поэтому M-1 является обратным к M, а также M является обратным к M-1.
- 2-е свойство: инверсия единичной матрицы сама по себе: I-1 = I, потому что произведение единичной матрицы само по себе приводит к единичной матрице, то есть Iнет · Янет = Янет.
- 3-е свойство: инверсия произведение двух матрицты равно произведению обратных чисел:
(M × H)-1 = M-1 · А-1.
- 4-й объект: квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее детерминант отлично от 0, то есть det (M) ≠ 0.
решенные упражнения
1) Для данной матрицы A и матрицы B, зная, что они инвертированы, значение x + y равно:
а) 2.
б) 1.
в) 0.
г) -1.
д) -2.
Разрешение:
Альтернатива d.
Построение уравнения:
A · B = I
По второму столбцу, приравнивая члены, мы имеем:
3x + 5y = 0 → (I)
2х + 4у = 1 → (II)
Изоляция x в I:
Замена в уравнение II, мы должны:
Зная значение y, найдем значение x:
Теперь посчитаем x + y:
вопрос 2
Матрица имеет инверсию только в том случае, если ее определитель отличен от 0. Глядя на матрицу ниже, при каких значениях x матрица не поддерживает инверсию?
а) 0 и 1.
б) 1 и 2.
в) 2 и - 1.
г) 3 и 0.
д) - 3 и - 2.
разрешение:
Альтернатива b.
Вычисляя определитель A, нам нужны значения, где det (A) = 0.
det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)
det (A) = x² - 3x + 2
det (A) = x² - 3x + 2 = 0
решение Уравнение 2-й степени, Мы должны:
- а = 1
- б = - 3
- с = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (– 3) ² – 4·1·2
Δ= 9 – 8
Δ = 1
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm