Таблица истинности — это логический инструмент, содержащий все логические значения сложного предложения. Построение таблицы истинности сложного предложения предполагает логические значения простых предложений, составляющих его, и логические операции между этими предложениями.
Читайте также: Ведь что такое логика?
Сводная таблица истинности
Таблица истинности — это инструмент, используемый в математической логике для упорядочения всех логических значений сложного предложения.
Основными логическими операциями таблицы истинности являются отрицание (~), конъюнкция (˄), дизъюнкция (˅), условная (→) и двуусловная (↔).
Чтобы построить таблицу истинности сложного предложения, необходимо использовать таблицы истинности основных логических операций.
Что такое таблица истинности?
Учитывать п Это д простые предложения, то есть предложения, которым можно присвоить одно из следующих логических значений: истинное (V) или ложное (F). Сложное предложение, образованное действиями между п Это д также является предложением, которое может быть истинным или ложным. Логическое значение этого сложного предложения зависит от логических значений, приписываемых ему.
п Это д и операции(и) между ними.Таблица истинности – это таблица, в которой представлены все возможности логического значения сложного предложения, основанные на логических значениях п Это д.
В этом тексте мы будем использовать букву V для обозначения истинного логического значения предложения и букву F для обозначения ложного логического значения.
Основные связи таблицы истинности
Логические связки (или операторы) символы или слова, связанные с операциями, которые соединяют простое предложение с другим простым предложением составить сложное предложение.
Существует пять основных связей, принцип действия, символ и значение которого указаны в таблице ниже.
Операция |
Символ |
Значение |
Отрицание |
~ |
нет |
Соединение |
˄ |
Это |
Дизъюнкция |
˅ |
или |
Условный |
→ |
если... затем |
двуусловный |
↔ |
если и только если |
Как читать:
~ п - "нет п”
п ˄ д — “п Это д”
п ˅ д — “п или д”
п→д - "если п затем д”
п↔д — “п если и только если д”
Наблюдение: Бикондиционал — это результат условной операции в обоих направлениях, то есть п↔д означает п→д Это д→п.
Как работает таблица истинности?
Первая строка таблицы истинности указывает все предложения, логические значения которых мы хотим проанализировать, а также соответствующие операции между ними. Каждая строка таблицы истинности представляет связь между логическими значениями предложений в первой строке.
Чтобы построить таблицу истинности любого сложного предложения, необходимо знать таблицы истинности основных операций, возникающих из основных логических связок. Давайте посмотрим, что представляют собой эти таблицы истинности, полученные по правилам исчисления высказываний.
Таблица истинности отрицания
Учитывая простое предложение п, логическое значение предложения ~ п противоположно логическому значению п. Так что если п Это правда ~ п является ложным; и если п Это фейк~ п это правда.
п |
~р |
В |
Ф |
Ф |
В |
Таблица истинности союза
Учитывая предложения п Это д, логическая ценность предложения п ˄ д истинно только тогда, когда оба предложения истинны.
п |
д |
потому что |
В |
В |
В |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Таблица истинности дизъюнкции
Учитывая предложения п Это д, логическая ценность предложения п ˅ д истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний.
п |
д |
потому что |
В |
В |
В |
В |
Ф |
В |
Ф |
В |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
Условная таблица истинности
Учитывая предложения п Это д, логическая ценность предложения п→д ложно, когда п это правда и д ложно и истинно в других случаях.
п |
д |
п →д |
В |
В |
В |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
В |
Ф |
Ф |
В |
Таблица двуусловной истинности
Учитывая предложения п Это д, логическая ценность предложения п↔д истинно только тогда, когда оба предложения истинны или оба ложны.
п |
д |
п ↔ д |
В |
В |
В |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
Построение таблицы истинности
На основе таблиц истинности фундаментальных операций мы можем построить таблицы истинности для любого сложного предложения. Для этого мы должны идентифицировать задействованные предложения и выполнить операции в соответствии с таблицами истинности из предыдущей темы..
Наблюдение: Число строк в таблице истинности сложного предложения, образованного н простые предложения - это 2н.
Пример: Построить таблицу истинности предложения ~(п ˄ д).
Мы будем использовать таблицу истинности с четырьмя столбцами: один для предложения. п, один за предложение д, один за предложение п ˄ д, и последний для окончательного предложения, которое равно ~ (п ˄ д).
п |
д |
потому что |
~ (р ˄ q) |
Мы можем заполнить первые три столбца этой таблицы информацией из таблицы истинности операции соединения.
п |
д |
потому что |
~ (р ˄ q) |
В |
В |
В |
|
В |
Ф |
Ф |
|
Ф |
В |
Ф |
|
Ф |
Ф |
Ф |
Наконец, четвертый столбец представляет собой отрицание каждого логического значения в третьем столбце.
п |
д |
потому что |
~ (р ˄ q) |
В |
В |
В |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
В |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
Читайте также: Как работает логика Аристотеля
Упражнения с таблицей истинности
Вопрос 1
Постройте таблицу истинности предложения. ~ (п ˄ ~ д).
Разрешение
Мы будем использовать таблицу истинности с пятью столбцами: один для предложения. п, один за предложение д, один за предложение ~ д, один за предложение п ˄ ~ д, и последнее для окончательного предложения, ~ (п ˄ ~ д).
п |
д |
~ д |
п ˄ ~ q |
~ (р ˄ ~ q) |
Теперь просто заполните каждый столбец и выполните соответствующие операции:
п |
д |
~ д |
п ˄ ~ q |
~ (р ˄ ~ q) |
В |
В |
Ф |
Ф |
В |
В |
Ф |
В |
В |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
В |
вопрос 2
Построить таблицу истинности предложения ~ п ˅ д → ~ д.
Разрешение
Мы будем использовать таблицу истинности с шестью столбцами: один для предложения. п, один за предложение д, один за предложение ~ п, один за предложение ~ д, один за предложение ~ п ˅ д, и последнее для окончательного предложения, ~ п ˅ д → ~ д.
п |
д |
~р |
~ д |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~ д |
Теперь просто заполните каждый столбец и выполните соответствующие операции:
п |
д |
~р |
~ д |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~ д |
В |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
В |
Ф |
Ф |
В |
Ф |
В |
Ф |
В |
В |
Ф |
В |
Ф |
Ф |
Ф |
В |
В |
Ф |
В |
Источники
АЛЕНКАР ФИЛЬО, Э. в. Введение в математическую логику. Сан-Паулу: Нобель, 2002.
ВАЗ, Р. М. Формализация логических рассуждений на основе математической логики. Диссертация (степень профессионального магистра математики) – Федеральный университет Мату-Гросу-ду-Сул, Трес-Лагоас, 2014 г. Доступно в https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm
