Числовая последовательность: классификации, примеры

А числовая последовательность представляет собой набор чисел, организованных упорядоченным образом. Числовая последовательность может быть составлена ​​по разным критериям — например, последовательность четных чисел или последовательность кратных 3. Когда мы можем описать этот критерий формулой, мы называем эту формулу законом образования числовой последовательности.

Читайте также: Различия между числом, цифрой и цифрой

Сводная информация о числовой последовательности

• Числовая последовательность – это список чисел, расположенных по порядку.

• Числовая последовательность может соответствовать различным критериям.

• Закон возникновения числовой последовательности – это список элементов, существующих в последовательности.

• Последовательность можно классифицировать двумя способами. Один учитывает количество элементов, а другой – поведение.

• Что касается количества элементов, то последовательность может быть конечной или бесконечной.

• Что касается поведения, то последовательность может быть возрастающей, постоянной, убывающей или колеблющейся.

• Когда числовая последовательность может быть описана уравнением, это уравнение известно как закон формирования числовой последовательности.

Что такое последовательности?

Последовательности наборы элементов, расположенных в определенном порядке. В нашей повседневной жизни мы можем воспринимать несколько ситуаций, которые включают в себя последовательности:

• Последовательность месяцев: Январь, февраль, март, апрель,..., декабрь.

• Последовательность лет первых 5 чемпионатов мира 21 века: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

Существует несколько других возможных последовательностей, таких как последовательность имен или последовательность возраста. Всякий раз, когда существует установленный порядок, существует последовательность.

Каждый элемент последовательности известен как член последовательности, поэтому в последовательности есть первый член, второй член и так далее. В целом, последовательность может быть представлена ​​как:

\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)

• \(до 1\) → первый срок.

• \(а_2\) → второй срок.

• \(а_3\) → третий срок.

• \(а_n\) → любой срок.

Закон возникновения числовой последовательности

У нас могут быть последовательности различных элементов, таких как месяцы, имена, дни недели и другие. Апоследовательность — это числовая последовательность, если она включает числа. Мы можем составить последовательность четных чисел, нечетных чисел, простые числа, кратные 5 и т. д.

Последовательность представляется с использованием закона возникновения. Закон возникновения — это не что иное, как список элементов числовой последовательности..

Примеры:

• (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → последовательность нечетных чисел от 1 до 15.

• (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → последовательность чисел, кратных 5.

• (-1, 1, -1, 1, -1, 1) → чередующаяся последовательность между 1 и -1.

Какова классификация числовых последовательностей?

Мы можем классифицировать последовательности двумя разными способами. Один из них учитывает количество элементов, а другой учитывает поведение этих элементов.

→ Классификация числовой последовательности по количеству элементов

Когда мы классифицируем последовательность по количеству элементов, есть две возможные классификации: конечная последовательность и бесконечная последовательность.

◦ Конечная числовая последовательность

Последовательность является конечной, если она имеет ограниченное число элементов.

Примеры:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

• (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

• (-4, -6, -8, -10, -12)

◦ Бесконечная числовая последовательность

Последовательность бесконечна, если она имеет неограниченное количество элементов.

Примеры:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)

• (3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)

• ( -1, 2, -4, 8, -16, ...)

→ Классификация числовой последовательности по поведению последовательности

Другой способ классификации — по последовательному поведению. При этом последовательность может быть возрастающей, постоянной, колеблющейся или убывающей.

◦ Возрастающая числовая последовательность

Последовательность увеличивается, если терм всегда больше своего предшественника.

Примеры:

• (1, 5, 9, 13, 17, ...)

• (10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)

◦ Постоянная числовая последовательность

Последовательность является постоянной, когда все члены имеют одинаковое значение.

Примеры:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

• (-1, -1, -1, -1, -1, ...)

◦ Убывающая числовая последовательность

Последовательность убывающая, если ее члены всегда меньше своих предшественников.

Примеры:

• (-1, -2, -3, -4, -5, ...)

• (19, 16, 13, 10, 8, ...)

◦ Осциллирующая числовая последовательность

Последовательность является колеблющейся, если попеременно присутствуют члены, большие, чем их предшественники, и члены, меньшие, чем их предшественники.

Примеры:

• (1, -3, 9, -27, 81, ...)

• (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)

Закон формирования числовой последовательности

В некоторых случаях последовательность можно описать формулой, Однако, это не всегда возможно. Например, последовательность простых чисел — это четко определенная последовательность, однако мы не можем описать ее с помощью формулы. Зная формулу, мы смогли построить закон возникновения числовой последовательности.

• Пример 1:

Последовательность четных чисел больше нуля.

\(a_n=2n\)

Обратите внимание, что при замене н для одного натуральное число (1, 2, 3, 4, ...), найдем четное число:

\(a_1=2⋅1=2\)

\(a_2=2⋅2=4\)

\(a_3=2⋅3=6\)

\(a_4=2⋅4=8\)

Итак, у нас есть формула, которая генерирует члены последовательности, образованной четными числами, большими нуля:

(2, 4, 6, 8, ...)

• Пример 2:

Последовательность натуральных чисел больше 4.

\(a_n=4+n\)

Вычислив члены последовательности, имеем:

\(a_1=4+1=5\)

\(a_2=4+2=6\)

\(a_3=4+3=7\)

\(a_4=4+4=8\)

Записываем закон возникновения:

(5, 6, 7, 8,…)

См. также: Арифметическая прогрессия — частный случай числовой последовательности.

Решенные упражнения на числовую последовательность

Вопрос 1

Числовая последовательность имеет закон формирования, равный \(a_n=n^2+1\). Анализируя эту последовательность, можно утверждать, что значение 5-го члена последовательности будет:

А) 6

Б) 10

В) 11

Д) 25

Е) 26

Разрешение:

Альтернатива Е

Вычислив значение 5-го члена последовательности, имеем:

\(a_5=5^2+1\)

\(a_5=25+1\)

\(a_5=26\)

вопрос 2

Проанализируйте следующие числовые последовательности:

Я. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

Мы можем констатировать, что последовательности I, II и III классифицируются соответственно как:

А) возрастающая, колеблющаяся и убывающая.

Б) убывающая, возрастающая и колеблющаяся.

В) колеблющиеся, постоянные и возрастающие.

Г) убывающая, колеблющаяся и постоянная.

Д) колеблющаяся, убывающая и возрастающая.

Разрешение:

Альтернатива С

Анализируя последовательности, можно сказать, что:

Я. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

Он колеблется, поскольку есть термины, которые больше, чем их предшественники, и термины, которые меньше, чем их предшественники.

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

Она постоянна, так как члены последовательности всегда одни и те же.

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

Оно увеличивается, так как сроки всегда больше, чем у предшественников.